Η εκτροπή του φωτός από την βαρύτητα

Η ιστορία της εκτροπής του φωτός είναι μια από τις πιο συναρπαστικές ιστορίες σε ολόκληρη την επιστήμη.
Στην πραγματικότητα, έλκει τις ρίζες της στον δέκατο όγδοο αιώνα, όμως η ιστορία συνεχίζεται ακόμα στις μέρες μας.
Ταξιδεύει από τα ύψη των θεωρητικών και πειραματικών επιτευγμάτων, έως τα βάθη της ρατσιστικής προπαγάνδας, από το ηλιακό μας σύστημα έως τους πιο μακρινούς γαλαξίες. 
-Clifford M. Will, «Είχε δίκιο ο Αϊνστάιν;»

Ο πρώτος υπολογισμός της κάμψης του φωτός

O John Michell, ένας άγγλος επιστήμονας του 18ου αιώνα, ήταν ο πρώτος που μίλησε για την πιθανή έλξη του φωτός από την βαρύτητα. Το 1784 σε ένα γράμμα του προς τον Henry Cavendish κατέληγε στο συμπέρασμα ότι το φως πρέπει να επηρεάζεται από την βαρύτητα όμως και τα συνηθισμένα υλικά σώματα.

Ο Michell μεταξύ άλλων προσπάθησε να απαντήσει και στο ερώτημα: “πόσο μεγάλο πρέπει να είναι ένα σώμα ίδιας πυκνότητας με τον ήλιο, έτσι ώστε η βαρύτητά του να εμποδίζει το φως να διαφύγει από την επιφάνειά του;”

Η απάντηση που έδωσε ήταν ότι το σώμα θα έπρεπε να έχει 500 φορές μεγαλύτερη διάμετρο από τον ήλιο. Μπορεί να είναι μια λανθασμένη εκτίμηση, όμως είναι ο πρώτος υπολογισμός που αναφέρεται στα σώματα που σήμερα ονομάζουμε μαύρες τρύπες! Πάντως ο Michell ήταν ο πρώτος που υποστήριξε με υπολογισμούς ότι η βαρύτητα επιδρά πάνω στο φως, όπως επίσης έκανε μετά από δεκαπέντε χρόνια και ο Pierre-Simon Laplace.

Εκείνος που πρώτος υπολόγισε την εκτροπή του φωτός από το πεδίο βαρύτητας ενός άστρου όπως ο ήλιος μας, ήταν ένας βαυαρός αστρονόμος, ο Johann Georg von Soldner.

Johann Georg von Soldner

Οι υπολογισμοί περιγράφονται στη εργασία του που δημοσιεύθηκε το 1801 με τίτλο «On the Deflection of a Light Ray from its Rectilinear Motion».

Ο Soldner θεωρώντας ότι το φως αποτελείται από σωματίδια υπολόγισε ότι μια ακτίνα φωτός που θα περνούσε «ξυστά» από την επιφάνεια του ήλιου, θα απέκλινε από την αρχική της κατεύθυνση περίπου 0,85 δευτερόλεπτα του τόξου (1 μοίρα = 3600 δευτερόλεπτα, 1 rad = 206265 δευτερόλεπτα).
[Ο υπολογισμός αυτός είχε γίνει επίσης πριν από 15 χρόνια και από τον Cavendish, ο οποίος όμως ποτέ δεν τον δημοσιοποίησε. Βρέθηκε στις σημειώσεις του στις αρχές του 20ου αιώνα!]

O Einstein προσδιορίζει την κάμψη του φωτός

Η απόκλιση των 0,85 δευτερολέπτων του τόξου που υπολόγισε ο Soldner, ξεχάστηκε αφενός μεν διότι το φαινόμενο ήταν μικρότερο από το όριο διακριτικότητας των τηλεσκοπίων εκείνης της εποχής, αφετέρου δε στο μεγαλύτερο μέρος του δεκάτου ενάτου αιώνα είχαμε άνοδο της κυματικής θεωρίας του φωτός, σύμφωνα με την οποία το φως κινείται ως κύμα μέσα στον «αιθέρα», οπότε δεν υφίσταται εκτροπή.

Με το ίδιο πρόβλημα καταπιάστηκε ο Einstein (χωρίς να γνωρίζει την εργασία του Soldner), έναν αιώνα μετά! Το 1911 χρησιμοποιώντας την ασθενή αρχή της ισοδυναμίας έδειξε ότι η ηλεκτρομαγνητική ενέργεια έπρεπε να αλληλεπιδρά βαρυτικά, οπότε θα έπρεπε να παρατηρηθεί κάποια απόκλιση. Υπολόγισε πως η εκτροπή μιας ακτίνας που σχεδόν «έξυνε» την επιφάνεια του ήλιου θα έπρεπε να είναι περίπου 0,85 δευτερόλεπτα του τόξου. (“On the Influence of Gravitation on the Propagation of Light“ Annalen der Physik, 35, pp. 898-908, 1911). Πρότεινε μάλιστα να διερευνηθεί το φαινόμενο κατά τη διάρκεια μιας ολικής έκλειψης ηλίου.

Στα τέλη του 1915 ο Einstein, όταν είχε πλέον ολοκληρώσει τη δουλειά του πάνω στη γενική θεωρία της σχετικότητας, υπολόγισε ότι η εκτροπή του φωτός έπρεπε να είναι διπλάσια, 1,7 δευτερόλεπτα του τόξου.

«The Foundation of the General Theory of Relativity» σελ.163

Ο κάμψη του φωτός και η ναζιστική προπαγάνδα

Η εργασία του Soldner επανήλθε στο προσκήνιο το 1921 από τους ναζιστές!
Η άνοδος του φασισμού στη Γερμανία του μεσοπολέμου είχε αντίκτυπο και στην φυσική.

Ένας δηλωμένος ναζιστής φυσικός ήταν ό Philip Lenard, βραβευμένος με νόμπελ φυσικής το 1905 για την εργασία του σχετικά με τις καθοδικές ακτίνες. Κατά τη διάρκεια του μεσοπολέμου ο Lenard ανάλωσε τον περισσότερο χρόνο του προσπαθώντας να καθαρίσει τη γερμανική επιστήμη από τι «εβραϊκό μίασμα».

Η σχετικότητα αντιπροσώπευε την επιτομή της «εβραϊκής επιστήμης», και ο Lenard όπως και άλλοι ναζιστές φυσικοί έκαναν κάθε προσπάθεια για να τη δυσφημήσουν.

Παρά το γεγονός ότι οι παρατηρήσεις του Arthur Eddington κατά την έκλειψη ηλίου της 29 Μαΐου 1919, είχαν δώσει εκτροπή ακτίνας φωτός που εφάπτεται την επιφάνεια του Ήλιου
φ=1,6±0,31 δευτερόλεπτα του τόξου σε συμφωνία με την πρόβλεψη του Einstein,

το μεγάλο πειραματικό σφάλμα έδωσε αφορμή στον Lenard εξαπολύσει την επίθεσή του.

Στις αρχές του 1921, καθώς ο Lenard ετοίμαζε ένα άρθρο εναντίον της ειδικής σχετικότητας πληροφορήθηκε την ύπαρξη ενός άρθρου που έγραψε ο βαυαρός Soldner πριν από ένα αιώνα. Το εύρημα αυτό τον ενθουσίασε διότι αποδείκνυε ότι η «γερμανική» επιστήμη είχε προηγηθεί της «εβραϊκής» θεωρίας του Einstein.

O Lenard ετοίμασε μια μακροσκελή εισαγωγική αναφορά, περιέλαβε κατά λέξη τις δυο πρω΄τες σελίδες της εργασίας του Soldner, έκανε μια περίληψη των υπολοίπων, και τα δημοσίευσε όλα με το όνομα του Soldner στο τεύχος της 27ης Σεπτεμβρίου 1921 του περιοδικού Annalen der Physik.

Eυτυχώς οι περισσότεροι φυσικοί δεν επηρεάστηκαν από τέτοιου είδους απόψεις, και προτίμησαν να εστιάσουν την προσοχή τους στα επιστημονικά επιχειρήματα, θεωρητικά ή πειραματικά, και όχι στη ναζιστική προπαγάνδα.

Μια γρήγορη εκτίμηση του μεγέθους της κάμψης του φωτός

Μπορεί κανείς πολύ εύκολα να εκτιμήσει την εκτροπή των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται «ξυστά» από την επιφάνεια του ήλιου χωρίς να γνωρίζει τη γενική θεωρία της σχετικότητας – στην πραγματικότητα δεν χρειάζεται να γνωρίζει ούτε καν τον απλούστερο νευτώνειο τρόπο προσέγγισης του προβλήματος.

(Η παρακάτω ανάλυση βασίζεται στις σημειώσεις του δωρεάν διαδικτυακού μαθήματος από τον Στέφανο Τραχανά «Εισαγωγή στην Κβαντική Φυσική», σχετικά με την διαστατική ανάλυση: “Διαστατική μέθοδος. Γενική μαθηματική διερεύνηση και μια μη τετριμμένη περίπτωση“)

Υποθέστε ότι είστε ένας καλός πειραματικός που θέλει να παρατηρήσει το φαινόμενο και διερωτάται πρώτα απ’ όλα αν είναι καταρχήν παρατηρήσιμο με την παρατηρησιακή ακρίβεια των ημερών του. Υποθέστε επίσης ότι βρίσκεστε στο σωτήριο έτος 1916 – δηλαδή το έτος γέννησης της γενικής σχετικότητας – οπότε ούτε ο ίδιος ο Einstein την έχει μάθει αρκετά καλά ώστε να μπορεί να κάνει «στα γρήγορα» έναν υπολογισμό σαν αυτόν που θέλετε.

Να βρείτε δηλαδή τη θεωρητική πρόβλεψη για τη γωνία κάμψης Δθ (βλέπε σχήμα) συναρτήσει των παραμέτρων του προβλήματος. Που είναι βεβαίως, οι Μ και R (μάζα και ακτίνα του Ήλιου) και επίσης οι βασικές σταθερές των φυσικών νόμων που διέπουν το φαινόμενο. Δηλαδή οι c και G, αφού πρόκειται αφενός για ηλεκτρομαγνητικό φαινόμενο – για φως μιλάμε – και αφετέρου για βαρυτικό αφού η βαρύτητα είναι που προκαλεί την κάμψη.

Θα είναι επομένως: Δθ = F(M, R, G, c)

Μια στιγμή όμως. Γιατί αποκλείσαμε το ενδεχόμενο να εξαρτάται το Δθ και από το μήκος κύματος του φωτός; Για έναν λόγο πολύ «χονδροειδή». Θεωρήσαμε ότι η κυματική φύση του φωτός δεν θα παίζει κυρίαρχο ρόλο στο πρόβλημα διότι οι ανομοιογένειες που δημιουργεί στο χώρο το πεδίο βαρύτητας είναι πολύ μεγαλύτερες από το μήκος κύματος του (ορατού) φωτός και επομένως τα φαινόμενα συμβολής και περίθλασης θα είναι μάλλον ανεπαίσθητα.

Δεδομένου τώρα ότι το Δθ είναι μια αδιάστατη ποσότητα, η θεωρία της διαστατικής ανάλυσης μας λέει ότι θα είναι:
Δθ = g(ω)
όπου ω ο μοναδικός αδιάστατος συνδυασμός των Μ, R, G και c. Ο οποίος βρίσκεται πολύ εύκολα αν σκεφτούμε ότι οι ποσότητες
GM² και Mc²
έχουν και οι δυο διαστάσεις ενέργειας. Η πρώτη αντιπροσωπεύει τη βαρυτική ενέργεια του ήλιου και η δεύτερη την ενέργεια ηρεμίας της μάζας του, οπότε το πηλίκο τους
G M² / M c² = G M / R c²
θα είναι ο ζητούμενος αδιάστατος συνδυασμός. Έχουμε λοιπόν ότι
ω = G M / R c²

Όμως επειδή η ενέργεια ηρεμίας της μάζας Μ είναι πολύ μεγαλύτερη από τη βαρυτική ενέργεια του ήλιου, το πηλίκο τους – δηλαδή ο αδιάστατος αριθμός ω – θα είναι πολύ μικρότερος της μονάδας οπότε θα μπορούμε να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση g(ω) μόνο με τους λίγους πρώτους όρους – ή μόνο τον πρώτο – του αναπτύγματός της σε σειρά Taylor.
Έστω λοιπόν ότι
Δθ = g(ω) = c₀ + c₁ω + c₂ω² + •••

Δεδομένου όμως ότι για Μ=0 , ισχύει και ω=0, θα πρέπει να είναι επίσης και Δθ=0 (αν δεν υπάρχει μάζα, δεν υπάρχει κάμψη) ο σταθερός όρος c₀ στην τελευταία εξίσωση θα πρέπει να μηδενίζεται, οπότε η σειρά Taylor θα μπορεί να προσεγγιστεί μόνο με τον όροc₁ ω, αφού για ω<<1, οι ανώτερες δυνάμεις του ω είναι ασύγκριτα μικρότερες. Καταλήγουμε έτσι στον προσεγγιστικό τύπο

Δθ = c₁ ω = c₁ G M / R c²   (1)

όπου c₁ μια αριθμητική σταθερά που δεν μπορεί βέβαια να προσδιοριστεί με διαστατική ανάλυση. Όπως όμως γνωρίζουμε από την εμπειρία μας, με φυσικούς τύπους που περιγράφουν θεμελιώδη φυσικά φαινόμενα – και επομένως απορρέουν από μια θεμελιώδη φυσική θεωρία και όχι από εμπειρικά δεδομένα που συνοψίζονται σε κάποιον εμπειρικό τύπο – οι αριθμητικοί συντελεστές που εμφανίζονται είναι πάντα τηςτάξεως του ένα.

Oύτε πολύ μεγάλοι, ούτε πολύ μικροί αριθμοί. Ένα π, κάποιο √2, 1/π, κ.λπ. Αν το ίδιο ισχύει και για τον συντελεστή c₁ στην σειρά Taylor – και δεν βλέπουμε το λόγο να μην ισχύει – τότε, τουλάχιστον για εκτιμήσεις τάξεως μεγέθους, η εξίσωση

Δθ = c₁ G M / R c²    (2)

μπορεί άνετα να χρησιμοποιηθεί, γράφοντάς τον μάλιστα στην καταλληλότερη μορφή

Δθ ~ G M / R c²

Αν θέσουμε στην παραπάνω εξίσωση τις αριθμητικές τιμές που αντιστοιχούν σε ένα άστρο σαν τον ήλιο μας (R=700.000km, M=2×10³⁰kg, c=300.000 km/s και G=6,67×10^-11N•m²•kg^-2) – παίρνουμε
Δθ=2,1×10^-6=0,44´´
H κάμψη του φωτός θα είναι επομένως της τάξης των δεύτερων λεπτών της μοίρας. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι μια τέτοια απόκλιση είναι παρατηρήσιμη ακόμα και με τις τεχνικές των αρχών του περασμένου αιώνα, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το φαινόμενο που συζητάμε μπορεί σίγουρα να παρατηρηθεί.

Πρόκειται για διαπίστωση κρίσιμης σημασίας. Διότι ο πειραματικός μας φυσικός που έκανε την παραπάνω ανάλυση θα μπορούσε πλέον να πείσει τον θεωρητικό της … διπλανής πόρτας να καταβάλλει την προσπάθεια που απαιτείται για να κάνει τον ακριβή υπολογισμό (με βάση τη γενική σχετικότητα) ο οποίος βέβαια απλώς θα προσδιορίσει τον ακριβή αριθμητικό συντελεστή c₁, στην εξίσωση (2). Ενώ ενδέχεται να δώσει και ανώτερους όρους της σειράς (1) οι οποίοι γίνονται αμελητέοι για τιμές του ω που είναι της τάξης του 10^-6, όπως είδαμε).

Και έτσι ακριβώς … έγινε! Ο θεωρητικός φυσικός της υποθετικής ιστορίας μας πράγματι έκανε τον υπολογισμό και βρήκε c₁=4. Και ανατρέχοντας στη βιβλιογραφία διαπίστωσε – όχι χωρίς έκπληξη – ότι περίπου διακόσια χρόνια πριν κάποιος σκέφτηκε να κάνει τον ίδιο υπολογισμό στο πλαίσιο της νευτώνειας φυσικής και της παλιάς σωματιδιακής θεωρίας για το φως.
Και βρήκε βεβαίως το ίδιο αποτέλεσμα όσον αφορά την εξάρτηση από τα Μ, R, G και c(αυτό είναι υποχρεωτικό από τη διαστατική ανάλυση), αλλά με αριθμητικό συντελεστή ακριβώς στο μισό! Δηλαδή c₁=2. Έτσι έχουμε στο «τραπέζι» δυο θεωρητικές προβλέψεις – μια νευτώνεια και μια κατά Einstein –
Δθ_Ν= 2 G M / R c²,   Δθ_Ε= 4 G M / R c²
και περιττεύει(;) να πούμε ότι η παρατήρηση της έκλειψης του 1919 επιβεβαίωσε τη δεύτερη και απέρριψε την πρώτη, προσφέροντας έτσι την πρώτη πειραματική επαλήθευση της γενικής σχετικότητας.

Σχηματική περιγραφή των μετρήσεων «καμπύλωσης του φωτός», από την αποστολή του Eddington, κατά τη διάρκεια της ηλιακής έκλειψης στις 29 Μαΐου του 1919. Η εικόνα αυτή δημοσιεύθηκε στις 22 Noεμβρίου 1919 στην εφημερίδα Illustrated London News.

ΠΗΓΕΣ:
1. Clifford M. Will, «Είχε δίκιο ο Αϊνστάιν;», 1995, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
2. Στέφανος Τραχανάς:  «Διαστατική μέθοδος. Γενική μαθηματική διερεύνηση και μια μη τετριμμένη περίπτωση», από το δωρεάν διαδικτυακό μάθημα «Εισαγωγή στηv Κβαντική Φυσική»

ΠΗΓΗ: http://physicsgg.me