Πριν μερικούς μήνες, συγκεκριμένα τον Ιανουάριο του 2012, μερικοί από τους καλύτερους εν ζωή θεωρητικούς φυσικούς του κόσμου συγκεντρώθηκαν στο Κέιμπριτζ της Αγγλίας, στο περίφημο Ινστιτούτο Μαθηματικών Ισαάκ Νεύτων για να εορτάσουν τα 70α γενέθλια του γνωστού φυσικού Στήβεν Χώκινγκ. Ο τίτλος του συνεδρίου ήταν: «Η Κατάσταση του Σύμπαντος (The State of the Universe)».
Δύο ήταν τα βασικά συμπεράσματα του συνεδρίου: Το πρώτο ήταν ότι οι λεγόμενες γυμνές ανωμαλίες (naked singularities) είναι πιθανό τελικά να υπάρχουν (με την χρήση μιας υποθετικής 5ης διάστασης). Το δεύτερο ήταν ότι το σύμπαν (μάλλον) δεν είναι αιώνιο και παλλόμενο.
Ας αρχίσουμε από το πρώτο συμπέρασμα: Ως απόρροια του περίφημου θεωρήματος χωροχρονικών ανωμαλιών Πενρόουζ-Χώκινγκ, μια μελανή οπή αποτελείται από μια χωροχρονική ανωμαλία (σημείο απειρισμού της πυκνότητας) που περιβάλλεται από μια φανταστική σφαίρα με κέντρο το σημείο της ανωμαλίας που λέγεται ορίζοντας γεγονότων.....
Οτιδήποτε διέλθει το σύνορο της σφαίρας αυτής (του ορίζοντα των γεγονότων) είναι καταδικασμένο να καταρρεύσει στην χωροχρονική ανωμαλία, δεν μπορεί πλέον να διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της μελανής οπής (θα χρειαζόταν ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός για να διαφύγει και ως γνωστόν δεν έχει παρατηρηθεί στην φύση ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός. [Σχόλιο: Τα χαρακτηριζόμενα και ως «υπέρλαμπρα νετρίνα» (superluminus neutrinos) του πειράματος OPERA στο CERN που εμφάνιζαν ταχύτητα μεγαλύτερη του φωτός όπως ανακοινώθηκε επίσημα το φθινόπωρο του 2011, είδηση που έκανε το γύρο του κόσμου στα διεθνή ΜΜΕ, αποδείχθηκε πως κατά πάσα πιθανότητα ήταν λάθος μέτρησης]. Αν κάτι δεν περάσει τον ορίζοντα των γεγονότων δεν επηρεάζεται (με «μοιραίο» τρόπο) από τη μελανή οπή. Κάποιες μελέτες έδειξαν ότι θεωρητικά μπορεί να υπάρχουν και οι λεγόμενες γυμνές ανωμαλίες, δηλαδή μια μελανή οπή χωρίς ορίζοντα γεγονότων. Εμφανώς στη «γειτονιά» μιας γυμνής ανωμαλίας δεν μπορεί κανείς να προβλέψει καθόλου την συμπεριφορά υλικών σωματιδίων κλπ, θα καταρρεύσουν και αν ναι από πια απόσταση και μετά (δεν υπάρχει ορίζοντας γεγονότων, αδυναμία πρόβλεψης). Πιο συγκεκριμένα, θεωρητικοί υπολογισμοί έδειξαν ότι υπό συγκεκριμένες συνθήκες, κάποιο εισερχόμενο υλικό σωμάτιο σε μια περιστρεφόμενη μελανή οπή μπορεί να αυξήσει την ταχύτητα περιστροφής της μελανής οπής τόσο πολύ ώστε να καταστραφεί ο ορίζοντας των γεγονότων αυτής με αποτέλεσμα να έχουμε μια γυμνή ανωμαλία. Ο Χώκινγκ υποστηρίζει ότι δεν υπάρχουν γυμνές ανωμαλίες (και μάλιστα έβαλε και στοίχημα το 1997 με τους Kip Thorn και John Preskill!) Μεταγενέστερες όμως μελέτες έδειξαν ότι οι αρχικοί υπολογισμοί ήταν λανθασμένοι διότι δεν έλαβαν υπόψη τους επιδράσεις της λεγόμενης βαρυτικής αυτό-δύναμης των εισερχόμενων σωματιδίων (αλληλεπίδραση του βαρυτικού πεδίου των εισερχόμενων προς την μελανή οπή σωματιδίων με τον εαυτό του, η βαρύτητα ως μη-Αβελιανή θεωρία βαθμίδας έχει αυτό-αλληλεπιδρόντες όρους στην δράση, σχόλιο για τους ειδικούς). Άρα στην πραγματικότητα μάλλον δεν υπάρχουν γυμνές ανωμαλίες. Φάνηκε λοιπόν πως ο Χώκινγκ θα κέρδιζε τελικά το στοίχημα. Όμως στο εν λόγω συνέδριο διάφοροι ερευνητές επεφύλαξαν ένα κάπως δυσάρεστο δώρο γενεθλίων στον Στήβεν: Απέδειξαν ότι μια μελανή οπή αρχικά σε 4 διαστάσεις, αν την «μεταφέρουμε» στις 5 διαστάσεις μετατρέπεται σε μελανή χορδή, η οποία είναι ασταθής και σπάει σε μικρότερες όπως μια ροή νερού σπάει σε μικρές σταγόνες. Στο σημείο αποχωρισμού της μικρής μελανής οπής (σταγόνας που αποκόπτεται από μια ροή νερού) η διάμετρος αυτής μηδενίζεται (και απειρίζεται η πυκνότητα) οπότε καθίσταται μια γυμνή ανωμαλία. Όλα αυτά βέβαια υπό την μεγάλη αίρεση ότι η θεωρία υπερχορδών είναι σωστή (που προβλέπει την ύπαρξη έξτρα διαστάσεων). Το στοίχημα φαίνεται ότι χάνεται για τον Στήβεν (επί του παρόντος τουλάχιστον)!
Ερχόμαστε τώρα στο δεύτερο (και σημαντικότερο) συμπέρασμα. Αν και κάποιοι από εμάς δεν θα είχαμε πρόβλημα με την ιδέα ότι το σύμπαν ξεκίνησε με το μπιγκ μπανγκ, διάφοροι άλλοι θα προτιμούσαν μια θεωρία χωρίς κοσμική γένεση. Ο ίδιος ο Χώκινγκ σε προκαταρκτική-εισαγωγική ομιλία ανέφερε ότι μια στιγμή δημιουργίας αποτελεί ρωγμή στην θεωρία και θα έπρεπε να στραφούμε σε «μεταφυσική βοήθεια». Μερικοί φυσικοί προτιμούν οικονομικές και αυτάρκεις κοσμολογικές θεωρίες χωρίς αναφορές σε εξωγενείς και μη-ελεγχόμενους παράγοντες (πχ Θεός).
Τα τελευταία χρόνια ένα μεγάλο κομμάτι της έρευνας στην κοσμολογία ακολουθούσε αυτή την πορεία κυρίως με τα πολυσύμπαντα (multiverses), τις λεγόμενες κοσμολογίες των βράνων (brane cosmologies): Χρησιμοποιώντας ιδέες όπως o αέναος πληθωρισμός (eternal inflation), τα κυκλικά-παλλόμενα μοντέλα για το σύμπαν κλπ οι επιστήμονες προσπαθούσαν να δημιουργήσουν κοσμολογικά μοντέλα σύμφωνα με τα οποία το σύμπαν συνέχιζε επ’ άπειρον στο παρελθόν και θα συνεχίζει επ’ άπειρον και στο μέλλον. Άρα δεν είχε χρονική αρχή.
Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε λιγάκι με πολύ απλό τρόπο αυτές τις κοσμολογίες των βράνων και το πολυσύμπαν (εν γνώσει μας θα υπεραπλουστεύσουμε με τον κίνδυνο να παραλείψουμε πολλά σημαντικά σημεία αλλά το κάνουμε για παιδαγωγικούς λόγους, ζητούμε την «κατανόηση» των πιο ειδικών): Όλα αυτά πηγάζουν κυρίως από την λεγόμενη Μ-Θεωρία που αποτελεί γενίκευση της θεωρίας υπερχορδών: Στην θεωρία υπερχορδών ως γνωστόν το θεμελιώδες αντικείμενο είναι η λεγόμενη (υπερ)χορδή, ένα μονοδιάστατο αντικείμενο μεγέθους της τάξης του μήκους του Planck (10 -35 m, για σύγκριση, τα ηλεκτρόνια, πρωτόνια που θεωρούνται σημειακά σωμάτια έχουν μέγεθος της τάξης 10 -15 m). Οι υπεχορδές ζουν σε ένα χώρο 10 διαστάσεων. Τα διάφορα στοιχειώδη σωμάτια προκύπτουν από τις ταλαντώσεις των χορδών (θυμηθείτε τα έγχορδα μουσικά όργανα!) Η Μ-Θεωρία που αποτελεί γενίκευση της θεωρίας υπερχορδών ζει σε έναν χώρο 11 διαστάσεων και εκτός από χορδές (αντικείμενα διάστασης 1) περιλαμβάνει και τις λεγόμενες βράνες, αντικείμενα με μεγαλύτερη διάσταση, 2, 3, 4,…κλπ (προφανώς η διάσταση των βράνων δεν μπορεί να υπερβεί την διάσταση 11, που είναι η διάσταση του χώρου που ζει η Μ-θεωρία). Οι βράνες που έχουν διάσταση 2 λέγονται μεμβράνες. Τα σωμάτια προκύπτουν από τις ταλαντώσεις των βράνων (πχ για την περίπτωση των μεμβρανών, βράνες διάστασης 2, θυμηθείτε τους ήχους που παράγονται από την παλλόμενη επιφάνεια ενός τυμπάνου κοκ).
Στην γνωστή μας φυσική τα σωματίδια θεωρούνται σημειακά (τα σημεία έχουν διάσταση 0) οπότε καθώς ένα σημειακό σωμάτιο κινείται στο πέρασμα του χρόνου διαγράφει μια καμπύλη τροχιά στον χώρο (οι καμπύλες έχουν διάσταση 1). Οι υπερχορδές που έχουν διάσταση 1 καθώς κινούνται στο πέρασμα του χρόνου σαρώνουν μια επιφάνεια (αντικείμενο με διάσταση 2). Μια μεμβράνη διάστασης 2 καθώς κινείται στο πέρασμα του χρόνου μέσα στον χώρο των 11 διαστάσεων της Μ-Θεωρίας θα σαρώσει μια υπερεπιφάνεια διάστασης 3 κοκ, γενικά μια βράνη διάστασης n καθώς κινείται στο πέρασμα του χρόνου μέσα στον χώρο 11 διαστάσεων της Μ-Θεωρίας σαρώνει μια υπερεπιφάνεια διάστασης n + 1 (που αποτελεί εμφυτευμένη υποπολλαπλότητα του μεγάλου χώρου των 11 διαστάσεων που ζει η Μ-Θεωρία).
Με βάση την παραπάνω θεώρηση λοιπόν, αφού γνωρίζουμε ότι το (δικό μας) σύμπαν έχει μακροσκοπικά διάσταση 4 είναι λογικό να υποθέσουμε ότι προκύπτει από την κίνηση μιας βράνης διάστασης 3 η οποία στο πέρασμα του χρόνου σαρώνει μια πολλαπλότητα διάστασης 4 (εμφυτευμένη υποπολλαπλότητα στον μεγάλο χώρο των 11 διαστάσεων της Μ-Θεωρίας). Σημειώνουμε πάντως εδώ ότι οι θεωρίες αυτές δεν έχουν καμία πειραματική επιβεβαίωση επί του παρόντος αλλά είναι ελκυστικές από μαθηματικής και όχι μόνο άποψης.
Για να δώσουμε μια διαισθητικά κατανοητή σε όλους πιστεύουμε εικόνα, θα παρουσιάζαμε κατ’ αναλογία, το εξής σενάριο: Σκεφτείτε μια κατσαρόλα (το αντίστοιχο του μεγάλου χώρου των 11 διαστάσεων που ζει η Μ-Θεωρία) με νερό που βράζει και μέσα σε αυτή δημιουργούνται φυσαλίδες (το αντίστοιχο των βράνων), οι φυσαλίδες μπορούν να κάνουν κάθε είδους κίνηση, να δημιουργηθούν, να συγκρουσθούν, να σκάσουν κλπ. Το κάθε σύμπαν είναι ουσιαστικά μια φυσαλίδα. Μέσα στην κατσαρόλα υπάρχου φυσικά πολλές φυσαλίδες (εξ ου και ο όρος πολυσύμπαν, βέβαια όλες οι φυσαλίδες έχουν διάσταση 2, στις κοσμολογίες των βράνων και στο πολυσύμπαν υπάρχουν πολλές βράνες διαφορετικών διαστάσεων, συνεπώς υπάρχουν πολλά σύμπαντα και με διαφορετικές διαστάσεις). Η προσέγγιση αυτή σε πολύ γενικές γραμμές είναι συμβατή με τα θεωρήματα χωροχρονικών ανωμαλιών Πενρόουζ – Χώκινγκ, τις θεωρίες υπερχορδών και την υπερβαρύτητα 11 διαστάσεων. Πέραν πολλών άλλων «τεχνικών» θεμάτων, παραμένει βέβαια το βασικό «οντολογικό» ερώτημα πως προέκυψε ο αρχικός χώρος των 11 διαστάσεων. Φανερά από τα παραπάνω αυτό που περιγράφεται εδώ είναι κάτι τελείως διαφορετικό από την ερμηνεία των πολλών κόσμων της κβαντομηχανικής.
Στο συνέδριο λοιπόν αποδείχθηκε πως ακόμη και οι παραπάνω προσεγγίσεις απαιτούν μια στιγμή γένεσης!
Ο πρώτος στόχος ήταν ο αέναος πληθωρισμός, ξεκινάμε με τον απλό πληθωρισμό του Alan Guth (1981) που αποτελεί πλέον βασικό συστατικό της λεγόμενης στάνταρ κοσμολογίας: Υποστηρίζει ότι κλάσματα του δευτερολέπτου μετά το μπιγκ-μπανγκ το σύμπαν διπλασίασε το μέγεθός του χιλιάδες φορές πριν κατασταλάξει στην ήπια διαστολή που παρατηρούμε σήμερα. Αυτή η ιδέα ερμηνεύει το γιατί τμήματα του σύμπαντος τόσο απομακρυσμένα μεταξύ τους ώστε κάθε επικοινωνία τους θα ήταν αδύνατη, είναι ίδια.
Ο αέναος πληθωρισμός αποτελεί μετεξέλιξη της αρχικής ιδέας του πληθωρισμού του Guth και υποστηρίζει ότι το σύμπαν διαστέλλεται γεννώντας συνεχώς μικρότερες φυσαλίδες-υπο-σύμπαντα εντός ενός πολυσύμπαντος (θυμηθείτε τις βράνες της Μ-Θεωρίας). Κρίσιμο στο παραπάνω επιχείρημα είναι το ότι ο πληθωρισμός-διαστολή δεν αφορά μόνο τον χώρο αλλά και τον χρόνο και οι φυσαλίδες δημιουργούνται και στο μέλλον και στο παρελθόν.
Όμως από το 2003 μια ομάδα αποτελούμενη από τους Guth, Vilenkin κλπ μελέτησε τις επιπτώσεις του αέναου πληθωρισμού για την σταθερά του Hubble που περιγράφει μαθηματικά την διαστολή του σύμπαντος. Το αποτέλεσμα είναι ότι οι κατάλληλες εξισώσεις δεν ικανοποιούνται, δεν υπάρχει χωροχρονική πολλαπλότητα με αυτή την ιδιότητα! Με άλλα λόγια αποδεικνύεται ότι η σταθερά Hubble έχει κάτω φράγμα (ελάχιστη οριακή τιμή), δεν γίνεται να είναι αέναος ο πληθωρισμός του παρελθόντος.
Υπάρχει όμως και εναλλακτική προσέγγιση, αυτή ενός κυκλικού σύμπαντος: Σύμφωνα με αυτή είτε το μπιγκ μπανγκ δεν ήταν στιγμή γένεσης αλλά αλληλεπίδραση –σύγκρουση μεταξύ βράνων είτε η ακτίνα του σύμπαντος αυξάνει και μικραίνει περιοδικά (τέτοια μοντέλα προκύπτουν και από τις εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν της κλασσικής Γενικής Θεωρίας Σχετικότητας). Τα κυκλικά μοντέλα έχουν μια ποιητική χροιά και δημιουργούν συνειρμούς με τον μύθο πχ του φοίνικα που αναγενάται από τις στάχτες του. Όμως και αυτή η εναλλακτική έχει πρόβλημα στο θέμα της εντροπίας!
Η αταξία αυξάνει με την πάροδο του χρόνου. Συνεπώς μετά από κάθε κύκλο (σύγκρουση της βράνης μας ή ο,τιδήποτε άλλο) θα πρέπει η αταξία εντός αυτής να αυξάνει. Εάν όμως υπήρχε απειρία κύκλων στο παρελθόν το σύμπαν μας σήμερα θα έπρεπε να είχε άπειρη εντροπία, ασύμβατη κατάσταση με τις πολύπλοκες δομές που παρατηρούμε σε αυτό. Άρα στο παρελθόν, αν υπήρχαν προγενέστεροι κύκλοι-συγκρούσεις, θα πρέπει να ήταν πεπερασμένα σε πλήθος, άρα κάποια στιγμή στο παρελθόν υπήρξε στιγμή έναρξης. Συνεπώς αυτό ήταν το πραγματικό μπιγκ μπανγκ (και όχι απλά η έναρξη του «παρόντος» κύκλου-πιο πρόσφατης σύγκρουσης βράνων).
Μια πιθανή διέξοδος θα ήταν το σύμπαν να μεγαλώνει σε κάθε κύκλο οπότε η εντροπία ανά μονάδα όγκου να μην αυξάνει. Όμως οι υπολογισμοί του Vilenkin κλπ δείχνουν πως ούτε αυτό μπορεί να συμβεί, και αυτή η προσέγγιση πέφτει θύμα ενός υπολογισμού παρόμοιου με τον αρχικό που απαγορεύει τον αέναο πληθωρισμό στο παρελθόν.
Μια τρίτη λιγότερο γνωστή θεώρηση είναι αυτή του λεγόμενου κοσμικού αυγού: Το σύμπαν υπήρχε επ’ άπειρον στο παρελθόν σε μια σταθερή κατάσταση που λέγεται κοσμικό αυγό. Το σπάσιμο του αυγού ήταν το μπιγκ μπανγκ. Όμως ούτε αυτή η κατάσταση θα μπορούσε να είχε υπάρξει για άπειρο χρόνο στο παρελθόν. Κβαντικές αστάθειες θα οδηγούσαν στην κατάρρευσή του μετά από πεπερασμένο χρόνο. Οι κοσμολογίες των βράνων προσπαθούν να απαντήσουν και στο ερώτημα τι υπήρχε πριν το μπιγκ μπανγκ. Αλλά από τα συμπεράσματα του συνεδρίου προκύπτει πως απλώς μεταθέτουν το πρόβλημα (χρονικά) πιο πίσω, οι λεγόμενες μη-γενεσιακές κοσμολογίες (creationless cosmologies) και τo σύμπαν χωρίς έναρξη (beginningless universe) έχουν μεγάλα προβλήματα.
Σημειώσεις:
- Το άρθρο αυτό γράφηκε μετά από συζήτηση-παράκληση φίλου θεολόγου του γράφοντος που έτυχε (ο θεολόγος) να έχει διαβάσει κάποιο εκλαϊκευτικό άρθρο για τις κοσμολογίες των βράνων και ταυτόχρονα γνώριζε για την συμμετοχή του γράφοντος στο διεθνές συνέδριο που αναφέραμε παραπάνω. Ο γράφων σε καμία περίπτωση δεν συμμερίζεται την φοβική (αλλά ούτε την αφ’ υψηλού) στάση μερικών θεολόγων απέναντι στις άλλες επιστήμες. Η θεολογία δεν έχει κανένα λόγο να τρέχει ασθμαίνοντας πίσω από τις επιστημονικές ανακοινώσεις-ανακαλύψεις. Διακρίνεται ενίοτε κάποιο άγχος από πλευράς θεολόγων στο θέμα αυτό. Δεν αξίζει μάλλον τον κόπο. Ενδεικτικά, όπως αναφέρεται με τον πιο επίσημο και κατηγορηματικό τρόπο στην επίσημη ιστοσελίδα της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών των ΗΠΑ, του ανώτερου πνευματικού ιδρύματος της χώρας αυτής (σε κάθε χώρα άλλωστε η Ακαδημία αποτελεί το ανώτερο πνευματικό ίδρυμα):
“Whether God exists or not is a question about which science is neutral”.
(«Εάν ο Θεός υπάρχει ή όχι, είναι μια ερώτηση περί της οποίας η επιστήμη είναι ουδέτερη»),
βλέπε http://www.nap.edu/openbook.php?record_id=5787&page=58
Η επιστήμη στο θέμα της ύπαρξης του Θεού τηρεί ουδέτερη στάση, δεν επιβεβαιώνει ούτε απορρίπτει. Δεν μπορεί να απαντήσει, το συγκεκριμένο ερώτημα την υπερβαίνει (και ας λέει ο κάθε άσχετος, αμφίπλευρα, ό,τι θέλει, ειδικά στην Ελλάδα και ακόμη πιο ειδικά στη μέση εκπαίδευση από πληροφορίες και λεγόμενα θεολόγων…)
- Εναλλακτικά θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο τίτλος «Θεολογία και Θεμελιώδεις Επιστήμες ΙΙΙ», σχέση θεολογίας με τα κοσμολογικά μοντέλα που επεξεργάζονται στον παρόντα χρόνο οι επιστήμονες (σαν συνέχεια των άλλων 2 προγενέστερων άρθρων του γράφοντος, «Θεολογία και Θεμελιώδεις Επιστήμες Ι & ΙΙ»). Πιθανολογούμε πως το ευρύ κοινό μάλλον ενδιαφέρεται για επιστημονική γνώση σε κάποιο βαθμό «κατασταλαγμένη», δηλαδή θεωρίες που έχουν τουλάχιστον κάποιας μορφής πειραματική επιβεβαίωση ή κάνοντας ακόμη πιο χαλαρά τα κριτήριά μας θεωρίες που υπάρχουν για αρκετά χρόνια έχοντας δημιουργήσει «σχολή» στην επιστημονική κοινότητα (άσχετα με το εάν υπάρχουν πειραματικά δεδομένα που τις επιβεβαιώνουν, το τελευταίο ισχύει πχ για την θεωρία υπερχορδών). Συνεπώς ίσως δεν ενδιαφέρουν πολλούς τα τρέχοντα δοκιμαστικά μοντέλα των επιστημόνων-ερευνητών, η αλήθεια είναι ότι ο γράφων είχε κάποιους ενδοιασμούς για την συγγραφή του συγκεκριμένου εκλαϊκευτικού επιστημονικού άρθρου το οποίο το θεωρεί μάλλον εξειδικευμένο. Από την άλλη όμως, πέρα από την προσωπική φιλική παράκληση, μπορεί να ενδιαφέρει αναγνώστες-φοιτητές φυσικομαθηματικών σχολών που ενδιαφέρονται για την έρευνα στον χώρο της κοσμολογίας ή και άσχετων με το χώρο ανθρώπων που θέλουν να πάρουν μια ιδέα από τα τρέχοντα “state of the art” ερευνητικά θέματα της κοσμολογίας. Οι επιστήμονες πειραματίζονται με πάρα πολλά πράγματα πριν καταλήξουν κάπου, αυτό αποτελεί εγγενές κομβικό χαρακτηριστικό της έρευνας. Ο γράφων θυμάται μια φράση του καθηγητή του Simon Donaldson το 1993 στην Οξφόρδη, στην πρώτη του επαφή με το συγκεκριμένο πρόσωπο. Είπε ο καθηγητής: «Το 99% αυτών που σκέφτομαι, λέγω και γράφω (όσον αφορά την επιστήμη) σε καθημερινή βάση είναι λανθασμένα. Το περισσότερο διάστημα η έρευνά μου είναι κολλημένη». Υπάρχουν όμως μερικές λίγες στιγμές έκλαμψης. Όπως έλεγε ο μέγας Πουανκαρέ τις στιγμές αυτές είναι σαν ο Θεός να σου κάνει την τιμή στιγμιαία να μοιράζεται μαζί σου μια σκέψη, μια ιδέα (ας αναλογιστούμε και την ετυμολογία της λέξης «Θεώρημα» λόγου χάριν).
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου