Αστρονομία: H μονοδιάστατη εξίσωση Dirac

Τετάρτη 27 Φεβρουαρίου 2013

H μονοδιάστατη εξίσωση Dirac

H συνέχεια προηγούμενης ανάρτησης με τίτλο: Aπό την εξίσωση του αρμονικού κύματος στην εξίσωση Dirac

Ο Paul Dirac

Σε προηγούμενη ανάρτηση (ΕΔΩ) ξεκινώντας από την απλούστατη εξίσωση του αρμονικού κύματος σε μια διάσταση

$y=A \sin 2 \pi(\frac{t}{T} \pm \frac{x}{\lambda})$
και την κλασική κυματική εξίσωση
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$
με μια παρόμοια λογική και χρησιμοποιώντας τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό του de Broglie καταλήξαμε στην μονοδιάστατη εξίσωση εξίσωση Schrödinger:
$i \hbar \frac{\partial y}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$
η οποία σε τελεστική μορφή γράφεται ως:
$\widehat{E}y = \frac{\widehat{p}^2}{2m}y$
όπου $\widehat{E} \equiv i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ και $\widehat{p} \equiv i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \Rightarrow \widehat{p}^2 \equiv -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$

Eνώ η εξίσωση Schrödinger αναπαράγει τη σχέση ενέργειας – ορμής του ελεύθερου σωματιδίου $E=\frac{p^2}{2m}$ , το ζητούμενο στη συνέχεια ήταν να βρεθεί μια άλλη εξίσωση που θα αναπαρήγαγε τη σχέση ενέργειας – ορμής σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας: $E^2=c^2p^2 + m^2c^4$
Μια τέτοια εξίσωση είναι η εξ. Klein-Gordon:
$-\hbar^2 \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -c^2 \hbar^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + m^2c^4 y$
Όμως αυτή η εξίσωση δημιουργεί περισσότερα προβλήματα σε σχέση με αυτά που επιλύει.
Και τούτο διότι η λύση της εξ. Klein-Gordon δίνει – εκτός από τις θετικές ενέργειες – και αρνητικές ενέργειες για την κίνηση ενός ελεύθερου σωματιδίου.
Η ιδέα να απορρίψουμε τις αρνητικές λύσεις και να κρατήσουμε μόνο τις θετικές, δεν είναι εφικτή σε μια κβαντική θεωρία διότι μια ελάχιστη διαταραχή μπορεί να προκαλέσει μεταπτώσεις από την περιοχή των θετικών στην περιοχή των αρνητικών και να επαναφέρει έτσι τις τελευταίες στο προσκήνιο.
Ένα άλλο πρόβλημα της εξ. Klein-Gordon είναι ότι είναι 2ης τάξης ως προς το χρόνο.
Έτσι, για να επιλυθεί χρειάζονται οι αρχικές συνθήκες y(t=0) και της πρώτης παραγώγου y’(t=0), δηλαδή να γνωρίζουμε και την δεύτερη παράγωγο της κυματοσυνάρτησης.
Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την βασική αρχή της κβαντικής θεωρίας, ότι η κυματοσυνάρτηση περιέχει όλες τις πειραματικά ελέγξιμες πληροφορίες για ένα φυσικό σύστημα κι επομένως η γνώση της σε μια ορισμένη χρονική στιγμή θα πρέπει να επαρκεί για τον πλήρη καθορισμό της μελλοντικής του εξέλιξης.
Επίσης, ο δευτεροτάξιος χαρακτήρας της εξ. Klein – Gordon δίνει π.χ. λύσεις της μορφής $y(x,t) =\psi(x) \cos(Et)$ , που για κάποιες χρονικές στιγμές μηδενίζονται.
Αυτό σημαίνει πως το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης $\vert y(x,t) \vert^2$ δεν μπορεί να ερμηνευθεί ως πυκνότητα πιθανότητας, αφού λύσεις σαν τις παραπάνω που μηδενίζονται για κάποιες χρονικές θα σήμαιναν περιοδικές εξαφανίσεις και εμφανίσεις του σωματιδίου από τον κόσμο τούτο!

Τα προβλήματα ερμηνείας της εξ. Klein-Gordon οφείλονται στον δευτεροτάξιο χαρακτήρα της, ο οποίος με τη σειρά του προέκυψε στο γεγονός ότι η σχετικιστική σχέση ενέργειας – ορμής $E^2=c^2p^2 + m^2c^4$ περιέχει την ενέργεια στο τετράγωνο.
Ο Dirac προσπάθησε να “θεραπεύσει” την αδυναμία αυτή ξεκινώντας από την σχέση $E=\sqrt{c^2p^2 + m^2c^4}$ ή στο απλοποιημένο σύστημα μονάδων με $\hbar=c=1$
$E=\sqrt{p^2 + m^2}$
Η εξίσωση Dirac πρέπει να είναι μια εξίσωση πρώτης τάξης ως προς το χρόνο
$i\frac{\partial y}{\partial t} = \widehat{H}y$
όπου
$\widehat{H}=\sqrt{\widehat{p}^2+m^2}=\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2}$
Μόνο που εδώ ο τελεστής $\widehat{H}$ δεν έχει νόημα. Μπορούμε όμως να τον αναζητήσουμε απαιτώντας:
$\widehat{H}^2=\widehat{p}^2+m^2 = -\frac{\partial^2}{\partial x^2} + m^2$
ψάχνοντας δηλαδή μια έκφραση για την “τετραγωνική ρίζα” ενός τελεστή!…

Έστω ότι $\widehat{H}=\alpha \widehat{p} + \beta m$ , όπου α και β οι άγνωστοι συντελεστές (όχι απαραίτητα συνήθεις αριθμοί αλλά και στοιχεία μιας μη μεταθετικής άλγεβρας με προφανή υποψήφιο τις τετραγωνικές μήτρες).
Απαιτούμε λοιπόν να ισχύει
$\widehat{H}^2=\widehat{p}^2+m^2=(\alpha \widehat{p} + \beta m)(\alpha \widehat{p} + \beta m) \Rightarrow$
$\widehat{p}^2+m^2=\alpha^2 \widehat{p}^2 + (\alpha \beta + \beta \alpha)m \widehat{p} + \beta^2 m^2$
Oι άγνωστοι συντελεστές θα πρέπει να ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες:
$\alpha^2=1$ , $\beta^2=1$ και $\alpha \beta + \beta \alpha \equiv [\alpha, \beta] = 0$
Είναι γνωστό πως οι πίνακες του Pauli ικανοποιούν τις παραπάνω εξισώσεις:
$\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = 1$ ,
$\sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_x = 0$ και όλες οι κυκλικές μεταθέσεις των x, y, z.
Μπορούμε συνεπώς να θέσουμε
$\beta \equiv \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
και
$\alpha \equiv \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
οπότε
$\widehat{H}=\alpha \widehat{p} + \beta m = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \widehat{p} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} m = \begin{pmatrix} m & \widehat{p} \\ \widehat{p} & -m \end{pmatrix}$
Για να έχει νόημα η ζητούμενη εξίσωση (Dirac) $i\frac{\partial y}{\partial t} = \widehat{H}y$ πρέπει η κυματοσυνάρτηση να έχει τη μορφή πίνακα – στήλη:
$y(x,t) = \begin{pmatrix} \phi(x,t) \\ \chi(x,t) \end{pmatrix}$
και η εξίσωση γράφεται (υπενθυμίζεται ότι $\widehat{p} = -i \frac{\partial}{\partial x}$ )
$\begin{pmatrix} i \, \partial \phi / \partial t \\ i \, \partial \chi / \partial t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m & -i \, \partial/ \partial x \\ -i\, \partial/\partial x & -m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi \\ \chi \end{pmatrix}$
Tελικά θα έχουμε το σύστημα των εξισώσεων:
$i\frac{\partial \phi}{\partial t} = m \phi - i\frac{\partial \chi}{\partial x}$
$i\frac{\partial \chi}{\partial t} = -i\frac{\partial \phi}{\partial x} - m \chi$

H χρονοανεξάρτητη εξίσωση Dirac

Έστω $y(x,t)=\psi(x) T(t)$ τότε η εξίσωση $i\frac{\partial y}{\partial t} = \widehat{H}y$ γράφεται:
$i\psi(x) \frac{\partial T(t)}{\partial t} = T(t) \widehat{H} \psi(x)$
ή
$i\frac{\dot{T}}{T}=\frac{\widehat{H} \psi(x)}{\psi(x)}=E$ όπου Ε μια σταθερά.
Από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε
$i\frac{\dot{T}}{T}=E \Rightarrow T(t)=e^{-iEt}$ (υπενθυμίζεται ότι θεωρούμε $\hbar=1$ )
και τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Dirac
$\widehat{H} \psi(x) =E\psi(x)$
ή
$\begin{pmatrix} m & \widehat{p} \\ \widehat{p} & -m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi(x) \\ \chi(x) \end{pmatrix} = E\begin{pmatrix} \phi(x) \\ \chi(x) \end{pmatrix}$
ή σαν σύστημα των εξισώσεων
$m\phi + \widehat p \chi = E \phi$
$-m\chi + \widehat p \phi = E \chi$

Στο όριο των μικρών ταχυτήτων η εξίσωση Dirac δίνει την εξίσωση Schrödinger;

Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος παίρνουμε
$\chi =\frac{\widehat p \phi}{E+m} \thickapprox \frac{\widehat p \phi}{2m}$
διότι στο μη σχετικιστικό όριο, η ολική ενέργεια Ε είναι ελάχιστα μεγαλύτερη από την ενέργεια ηρεμίας mc²=m (c=1).

Για μη σχετικιστικές ταχύτητες θα ισχύει $p<<m$ και η συνιστώσα $\phi$ είναι αμελητέα σε σχέση με την $\chi$ .

Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση του συστήματος παίρνουμε $\frac{\widehat p \phi}{2m} = (E-m) \phi$
Η τελευταία είναι η εξ. Schrödinger δεδομένου ότι ισχύoυν για μη σχετικιστικές ταχύτητες:
$E=\sqrt{p^2+m^2} = m \sqrt{1+ \frac{p^2}{m^2}} \thickapprox m$ και $E - m = \sqrt{p^2 +m^2} - m \thickapprox m (1+\frac{p^2}{2m}) - m =\frac{p^2}{2m}$