… και η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων
Ο Δημήτρης Χριστοδούλου γεννήθηκε το 1951 στην Αθήνα. Είναι Καθηγητής Μαθηματικών και Φυσικής στο Ομοσπονδιακό Πολυτεχνείο της Ζυρίχης. Έχει διατελέσει Καθηγητής Μαθηματικών του Πανεπιστημίου των Συρακουσών ΗΠΑ (1985-1987), του Ινστιτούτου Κουράντ του πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης (1988-1992), και του Πανεπιστημίου Πρίνστον (1992-2001). Έχει τιμηθεί με το βραβείο του ιδρύματος MacArthur(1993), το βραβείο Böcher της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας (1999), και το βραβείο Shaw για τα Μαθηματικά (2011). Είναι μέλος της Αμερικανικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών.Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασμένη προσαρμογή της ομιλίας του Δημήτρη Χριστοδούλου στην τελετή κατά την οποία του απενεμήθη (από κοινού με τον μαθηματικό Αθανάσιο Φωκά) το Αριστείο του Ιδρύματος Μποδοσάκη για το 2006, σε αναγνώριση του πρωτοποριακού έργου του και την καθοριστική συμβολή του στην προαγωγή του επιστημονικού του κλάδου.ΠΗΓΗ: Περιοδικό Επιστημονική Αμερικανική , Ελληνική έκδοση, Οκτώβριος 2006, σελίδες 20-22
Αν και ξεκίνησα στην ηλικία 19 ετών το διδακτορικό μου στη φυσική, χρειάστηκε αρκετός χρόνος για να συνειδητοποιήσω που είχα περισσότερη κλίση. Τούτο συνέβη στην ηλικία των 30 και με έκανε να επιλέξω το δρόμο που ακολουθώ ως τώρα.
Θα ήθελα να σας εξηγήσω, όσο γίνεται πιο απλά, ποιος είναι ο δρόμος που ακολούθησα και ποιοι υπήρξαν οι κυριότεροι σταθμοί της πορείας μου. Παράλληλα, θα κάνω μια ανασκόπηση της ιστορίας του πεδίου ερεύνης μου.
Μια μεγάλη επανάσταση στην επιστημονική σκέψη έλαβε χώρα κατά τον 17ο αιώνα, την εποχή του Νεύτωνα. Τότε ανακαλύφθηκε ότι οι φυσικοί νόμοι διέπουν το γίγνεσθαι των φυσικών συστημάτων, είναι δηλαδή νόμοι αλλαγής, και ακόμα ότι η μαθηματική έκφραση αυτών των νόμων είναι οι διαφορικές εξισώσεις.
Πιο συγκεκριμένα, οι φυσικοί νόμοι θεωρούνταν νόμοι της κίνησης ενός πεπερασμένου αριθμού σωμάτων – όπως ένα σύστημα ουράνιων σωμάτων – τα οποία εκλαμβάνονται ως υλικά σημεία κινούμενα υπό την επίδραση της αμοιβαίας βαρυτικής έλξης τους.
Οι ποσότητες που υφίσταντο την αλλαγή ήταν οι θέσεις και οι ταχύτητες των σωμάτων, οι δε αλλαγές γίνονταν μόνο ως προς τη μοναδική μεταβλητή του χρόνου.
Επομένως, το αντίστοιχο σύστημα διαφορικών εξισώσεων ήταν ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων.
Μια άλλη επανάσταση έλαβε χώρα τον 18ο αιώνα, την εποχή του Όιλερ.
Μελετώντας τους νόμους οι οποίοι διέπουν ένα ρευστό, ο Όιλερ αναγνώρισε ότι οι ποσότητες που προσδιορίζουν την τοπική κατάσταση του ρευστού εξαρτώνται όχι μόνο από το χρόνο αλλά και από τη θέση στο χώρο.
Οπότε είναι ανάγκη να εξετάζονται αλλαγές των ποσοτήτων ως προς τέσσερις μεταβλητές: τρεις που προσδιορίζουν τη θέση στον τρισδιάστατο χώρο και μια που αντιστοιχεί στο χρόνο.
Έτσι γεννήθηκε η έννοια του συστήματος μερικών διαφορικών εξισώσεων – το επίθετο «μερικές» αντί του «συνήθεις» δηλώνει ότι οι ποσότητες είναι συναρτήσεις πολλών και όχι μίας μεταβλητής.
Στο σημείο αυτό θεωρώ σημαντικό να αναιρέσω την εσφαλμένη αντίληψη ορισμένων. Κάποιοι πιστεύουν ότι δεν μπορεί να παραχθεί επιστημονικό έργο με αξιώσεις πρωτοτυπίας σε περιοχή του επιστητού όπου οι φυσικοί νόμοι είναι ήδη γνωστοί.
Τίποτα δεν μπορεί να βρίσκεται πιο μακριά από την αλήθεια. Διότι, μολονότι οι νόμοι της ουράνιας μηχανικής διατυπώθηκαν από τον Νεύτωνα πριν από 319 χρόνια, εξακολουθούμε να μην κατανοούμε την κίνηση όταν εμπλέκονται περισσότερα από δυο σώματα.
Είναι αξιοσημείωτο ότι ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του 20ου αιώνα υπήρξε το έργο των Κολμογκόροφ, Άρνολντ και Μόουσε, το περίφημο θεώρημα KAM, το οποίο όμως μας επιτρέπει να κατανοήσουμε την κίνηση μόνο στην περίπτωση τριών σωμάτων, εκ των οποίων το ένα έχει αμελητέα μάζα σε σχέση με τα άλλα δυο, και η κίνηση περιορίζεται σε ένα επίπεδο.
Στην περίπτωση του Euler στην υδροδυναμική, οι οποίες διατυπώθηκαν πριν από 254 χρόνια, ελάχιστα κατανοούμε σήμερα. Το δε μεγάλο πρόβλημα του στροβιλισμού – μια συνήθης εμπειρία όποιου παρατηρεί χαώδεις δίνες πίσω από κάποιο εμπόδιο, ένα βράχο λόγου χάρη, στην ήρεμη ροή ενός ποταμού – καλύπτεται ακόμα από σκοτάδι.
Το σφάλμα στην αντίληψη που προανέφερα έγκειται στο εξής: Πολλοί δεν έχουν αντιληφθεί ότι, για την κατανόηση των φαινομένων της φύσης, η γνώση των εξισώσεων από μόνη της δεν επαρκεί• διότι μόνο οι λύσεις των εξισώσεων, και όχι οι ίδιες οι εξισώσεις, μπορούν να παραβληθούν με τα φαινόμενα.
Οι έννοιες που επαρκούν για τη διατύπωση των εξισώσεων αποδεικνύονται εντελώς ανεπαρκείς για την επίλυσή τους, και μεγάλα νοητικά άλματα απαιτούνται για την κατανόηση των λύσεων, όπως διαφάνηκε με την προηγούμενη επισκόπηση της προόδου στον τομέα της ουράνιας μηχανικής και αυτόν της υδροδυναμικής. Συνεπώς, συνιστά σημαντικό επιστημονικό εγχείρημα το να αναζητεί κανείς νέες μαθηματικές έννοιες και τις λύσεις των εξισώσεων που εκφράζουν τους γνωστούς φυσικούς νόμους. Προσωπικά, σε αυτό το εγχείρημα έχω αφιερωθεί.
Ας προχωρήσουμε όμως στις εξελίξεις της επιστήμης κατά τον 19ο και 20ο αιώνα.
Μια μεγάλη επανάσταση στην επιστημονική σκέψη κατά τον 19ο αιώνα προήλθε από την ανακάλυψη ενός πλούσιου πεδίου γεωμετρίας, πέρα από την περιοχή που ήταν γνωστή στους αρχαίους Έλληνες. Αυτό το πεδίο γεωμετρίας, όπυ ο χώρος ο ίδιος έχει καμπυλότητα, είναι γνωστό ως γεωμετρία Ρίμεν, μιας και αυτός υπήρξε ο πρώτος που έφτασε στην πλήρη σύλληψή του.
O Ρίμεν όμως στηρίχτηκε στο έργο του δασκάλου του, του Γκάους, o οποίος είχε μελετήσει την εσωτερική γεωμετρία των καμπύλων επιφανειών στον ευκλείδειο χώρο.
Η τελευταία μεγάλη επανάσταση, στην οποία βασίζεται και το δικό μου έργο, έλαβε χώρα στις αρχές του 20ου αιώνα. Αναφέρομαι στη θεωρία της σχετικότητας, η οποία ανακαλύφθηκε τμηματικά: η ειδική θεωρία το 1905 και η γενική το 1915.
Και οι δυο θεωρίες συνδέονται με τον Αϊνστάιν, αλλά στην περίπτωση της ειδικής θεωρίας το έδαφος είχαν προλειάνει άλλοι – κυρίως ο Πουανκαρέ, o oποίος συνεισέφερε μερικές από τις βασικές ιδέες. Έλαβε δε την τελική της μορφή από τον Μινκόφσκι, ο οποίος εισήγαγε τη θεμελιώδη έννοια του χωροχρόνου στη γεωμετρία του, και κατ’ αυτό τον τρόπο επεξέτεινε το γνωστικό πεδίο της γεωμετρίας κατά διαφορετικό τρόπο από εκείνο Γκάους και Ρίμεν τον προηγούμενο αιώνα, προκειμένου να συμπεριλάβει και το χρόνο.
Πάνω σε αυτήν ακριβώς την έννοια του χωροχρόνου βασίστηκαν όλες οι περαιτέρω εξελίξεις.
Η πιο πρωτότυπη συνεισφορά του Αϊνστάιν ήταν η γενική θεωρία της σχετικότητας, η οποία συνδύασε τις δυο προεκτάσεις της γεωμετρίας στην έννοια του καμπύλου χωροχρόνου και έδειξε ότι τα φυσικά φαινόμενα της βαρύτητας δεν είναι παρά η εκδήλωση της καμπυλότητας του χωροχρόνου. Επιπλέον διατύπωσε τους νόμους τους οποίους υπακούει η γεωμετρία του χωροχρόνου – νόμοι οι οποίοι εμπεριέχουν το νόμο της παγκόσμιας έλξης καθώς και τους νόμους της κίνησης του Νεύτωνα. Οι νόμοι αυτοί έχουν τη μορφή ενός συστήματος μερικών διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες είναι γνωστές ως εξισώσεις του Αϊνστάιν.
Ας πω τώρα δυο λόγια και για το δικό μου έργο.
Θεωρώ ότι η σημαντικότερη μέχρι τώρα συνεισφορά μου έγκειται σε δυο έργα.
Το πρώτο αφορά τις εξισώσεις του Αϊνστάιν και εκπονήθηκε σε συνεργασία με τον Σέρτζιου Κλέινερμαν.
Απαίτησε 6 χρόνια εργασίας, όταν και οι δυο βρισκόμασταν στην ηλικία μεταξύ των 34 και 40. Αποτέλεσμα ήταν μια μονογραφία 514 σελίδων με τίτλο «Η καθολική μη γραμμική ευστάθεια του χώρου Μινκόφσκι».
Το έργο αυτό απέδειξε την ευστάθεια του επίπεδου χωροχρόνου της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας στο πλαίσιο της γενικής θεωρίας. Επίσης έδωσε μια ενδελεχή περιγραφή της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων.
Κατά βάση, μια αρχική διαταραχή στο υφάδι του χωροχρόνου διαδίδεται – όπως η διαταραχή ήρεμα νερά της λίμνης από το ρίξιμο μιας πέτρας – σε κύματα, και αυτά είναι τα βαρυτικά κύματα.
Ωστόσο, όπως έδειξα σε μια εργασία με τίτλο «Η μη γραμμική φύση της βαρύτητας και τα πειράματα βαρυτικών κυμάτων», η οποία αποτελεί συνέχεια του εν λόγω έργου, υπάρχει μια λεπτή διαφορά με το παράδειγμα της λίμνης. Διότι, ενώ ο χωρόχρονος – όπως και η λίμνη – γίνεται ξανά επίπεδος μετά την παρέλευση των κυμάτων, ο τελικός επίπεδος χωρόχρονος σχετίζεται κατά μη τετριμμένο τρόπο με τον αρχικό επίπεδο χωροχρόνο, τούτο δε έχει ως επακόλουθο ένα παρατηρήσιμο φαινόμενο, τη μόνιμη μετατόπιση των πειραματικών μαζών ενός ανιχνευτή βαρυτικών κυμάτων.
Το έργο επί της ευστάθειας του χωροχρόνου Μινκόφσκι εισήγαγε μερικές νέες βασικές μαθηματικές ιδέες. Στις προηγούμενες εργασίες στον τομέα των μερικών διαφορικών εξισώσεων, προσπαθούσε κανείς να ελέγξει τις λύσεις μέσω νορμών ορισμένων ως προς μια τεχνητή προϋπάρχουσα δομή. Αυτή η βασική γραμμική προσέγγιση αποτυγχάνει να ελέγξει τις λύσεις καθολικά. Ίσως η πιο πρωτότυπη ιδέα του έργου του Μινκόφσκι ήταν ότι πρέπει κανείς να εξετάζει το σύστημα που διέπει την αιτιακή δομή – ή χαρακτηριστική γεωμετρία – του χωροχρόνου, η οποία καθορίζεται από τη λύση του αρχικού συστήματος.
Αυτή είναι η δομή, και όχι μια τεχνητή προϋπάρχουσα δομή, μέσω της οποίας ελέγχονται οι λύσεις των εξισώσεων του αρχικού συστήματος, και μόνο μέσω της μελέτης της αλληλεπίδρασης των δυο συστημάτων επιτυγχάνονται αποτελέσματα.
Το δεύτερο έργο αφορά τις εξισώσεις του Όιλερ που διέπουν τη ροή συμπιεστών ρευστών. Ολοκληρώθηκε μόλις πρόσφατα, έπειτα από επτάχρονη εντατική προσπάθεια την οποία ξεκίνησα σε ηλικία 47 ετών.
Το αποτέλεσμα είναι μια μονογραφία 1125 σελίδων με τίτλο «Ο σχηματισμός κυμάτων κρούσεως σε τρισδιάστατα ρευστά».
Αυτό το έργο αναλύει λεπτομερώς τι γίνεται έπειτα από πολύ χρόνο όταν έχουμε μια αυθαίρετη αρχική διαταραχή σε πεπερασμένη περιοχή ενός συμπιεστού ρευστού στον τρισδιάστατο χώρο, με οποιαδήποτε θερμοδυναμική εξίσωση καταστάσεως.
Μετά την παρέλευση κατάλληλα μακράς χρονικής περιόδου, που εξαρτάται από το μέγεθος της αρχικής διαταραχής, τα κυματικά μέτωπα αποκτούν άπειρη συμπύκνωση κατά μήκος ορισμένων επιφανειών στο χωρόχρονο, από όπου αναπτύσσονται ασυνέχειες οι οποίες λέγονται κύματα κρούσεως.
Το πρόβλημα εξετάστηκε για πρώτη φορά από τον Ρίμεν το 1958 1858, όμως μόνο στην πολύ απλούστερη περίπτωση της μιας χωρικής διάστασης. Κατά την ενδιάμεση περίοδο των 148 ετών έγιναν πολλές άξιες λόγου εργασίες επί του θέματος, όμως ήταν σχεδόν αποκλειστικά περιορισμένες στην περίπτωση της μιας διάστασης. Το δικό μου έργο αντιμετωπίζει το πραγματικό φυσικό πρόβλημα των τριών διαστάσεων και δίνει μια πλήρη και λεπτομερή εικόνα του σχηματισμού των κυμάτων κρούσεως.
Ορισμένες όψεις της εικόνας αυτής ούτε να τις φανταστεί μπορεί κανείς βασιζόμενος στα γνωστά από τη μία διάσταση.
Η έννοια του χωροχρόνου παίζει βασικό ρόλο και στο προαναφερθέν έργο μου• ωστόσο δεν πρόκειται για τον πραγματικό χωροχρόνο, αλλά για ό, τι αποκαλώ «ακουστικό χωροχρόνο» και αντιστοιχεί, τρόπον τινά, στην εμπειρία ενός τυφλού που ακούει μόνο. Το εν λόγω έργο είναι το πρώτο που διερευνά τη γεωμετρία του ακουστικού χωροχρόνου, και επί αυτής της γεωμετρικής δομής βασίζει την ανάλυση των εξισώσεων.
Η ανάλυση είναι αρκετά δυσκολότερη από εκείνη του έργου επί της ευστάθειας του χωροχρόνου Μινκόφσκι, λόγω του ότι η γεωμετρική δομή παρουσιάζει ιδιορρυθμίες μόλις αρχίζουν να σχηματίζονται τα κύματα κρούσεως.
Τον ακριβή τρόπο κατά τον οποίο η γεωμετρική δομή εκφυλίζεται καθώς η πυκνότητα των κυματικών μετώπων τείνει στο άπειρο πρέπει αρχικά να τον μαντεύεις, κατόπιν δε, στην πορεία της μαθηματικής απόδειξης, να τον αποδείξεις.
Τελειώνοντας την ομιλία μου, θα ήθελα να τονίσω ότι το πεδίο μελέτης των εξισώσεων της γενικής σχετικότητας και της μηχανικής των ρευστών βρίσκεται ακόμα στην παιδική ηλικία του, και τα μεγάλα προβλήματά του παραμένουν άλυτα.
Πηγή: physicsgg
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου