Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί την ομιλία του Δημήτρη Χριστοδούλου κατά την τελετή ανακήρυξής του ως επίτιμου διδάκτορος του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών, στις 23 Ιουνίου 1996.
Η ιστορία που σας καλώ να παρακολουθήσουμε αρχίζει με τον Πυθαγόρα και τη σχολή του• τη σχολή που βασική της αρχή ήταν «το παν αριθμός». Η διαπίστωση ότι τα κύρια αρμονικά διαστήματα αντιστοιχούν σε απλές αριθμητικές αναλογίες οδήγησε τους πυθαγόρειους να ανακαλύψουν, με άλματα αξεπέραστης τόλμης, ότι στη ρίζα των φαινομένων του φυσικού κόσμου βρίσκεται η αρμονία των μαθηματικών εννοιών, η «μουσική των σφαιρών» όπως την ονόμασαν, αρμονία ουράνια, που δεν είναι αισθητή αλλά νοητή.
Η σχολή των πυθαγορείων έφερε επανάσταση στην ανθρώπινη σκέψη. Η μαθηματική απόδειξη ήταν ο νέος τρόπος διαλογισμού που αναπτύχθηκε στην εν λόγω σχολή. Άλλωστε, η ανακάλυψη από τους πυθαγόρειους της ύπαρξης ασύμμετρων μεγεθών, δηλαδή μεγεθών των οποίων η μεταξύ τους σχέση δεν είναι η σχέση μεταξύ δυο ακεραίων αριθμών, αποτελεί σταθμό στην εξέλιξη της ανθρώπινης διανόησης. Η ανακάλυψη αυτή οδήγησε αργότερα τον Εύδοξο, φίλο και μαθητή του Πλάτωνα, στη διατύπωση της γενικής θεωρίας των συνεχών μεγεθών, θεωρίας που αποτελεί ακόμη και σήμερα, έπειτα από τόσο διεισδυτική μελέτη του φυσικού κόσμου, σταθερή αφετηρία κάθε προσπάθειας περιγραφής της φυσικής πραγματικότητας. Η ανθρωπότητα χρειάστηκε είκοσι δυο αιώνες για να αποκτήσει τη νοητική ωριμότητα προκειμένου να αφομοιώσει τη θεωρία του Εύδοξου, αφού τούτο έγινε μόλις στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, όταν ο Dedekind την έφερε στο προσκήνιο.
τετράεδρο
Στον Τίμαιο, ο Πλάτωνας εξετάζοντας τη δομή της ύλης ανέπτυξε την ατομική θεωρία του Δημοκρίτου συνδέοντάς τη με τη Θεωρία των Κανονικών Στερεών.
κύβος
οκτάεδρο
Σύμφωνα με τη θεωρία του Πλάτωνα, το άτομο καθενός από τα στοιχεία της ύλης αντιστοιχεί σε ένα από τα κανονικά στερεά. Η Θεωρία των Κανονικών Στερεών ήταν η πρώτη μαθηματική θεωρία που αποδίδει πρωταρχικό ρόλο στη συμμετρία.
Δωδεκάεδρο
εικοσάεδρο
Η εξέλιξη της επιστήμης κατέδειξε τη γονιμότητα αυτών των ιδεών. Ο Αρχιμήδης γενίκευσε την έννοια του κανονικού πολυέδρου εισάγοντας αυτήν του ημικανονικού πολυέδρου, και απέδειξε ότι υπάρχουν δεκατρία ημικανονικά στερεά.
Στους νεώτερους χρόνους οικοδομήθηκε η μαθηματική θεωρία της συμμετρίας, η θεωρία ομάδων, η οποία παίζει πρωταρχικό ρόλο στη σύγχρονη φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων της ύλης. Οι βασικές ιδιότητες της ύλης, σύμφωνα με τις σύγχρονες απόψεις, συνθέτουν μια γραμμική πολλαπλότητα.
Εισάγοντας εσωτερικό γινόμενο, έχουμε χώρο ισόμορφο προς τον ευκλείδειο. Οι οικογένειες των στοιχειωδών σωματιδίων αντιστοιχούν σε πολύεδρα στον εν λόγω χώρο, που απεικονίζουν τις μη αναγώγιμες αναπαραστάσεις της ομάδας συμμετρίας, και το κάθε σωματίδιο σε μια οικογένεια αποτελεί κορυφή του αντίστοιχου πολυέδρου. Στην περίπτωση κατά την οποία δεχόμαστε ότι είναι τρεις βασικές υλικές ιδιότητες, τότε ο υλικός χώρος είναι τρισδιάστατος και οι οικογένειες των στοιχειωδών σωματιδίων σχηματίζουν ακριβώς τα δεκατρία ημικανονικά στερεά του Αρχιμήδη.
Αντιλαμβανόμαστε λοιπόν την υπερβατική υπόσταση των μαθηματικών, αφού η μαθηματική θεωρία που προέκυψε από τη μελέτη του χώρου υπερβαίνει αυτά τα πλαίσια και περιγράφει την ύλη.
Το έργο του Αρχιμήδη αποτελεί πρότυπο και για τα μαθηματικά και για τη φυσική, είτε αφορά τη διατύπωση νέων θεμελιωδών αρχών είτε την ανάπτυξη μεθόδων επίλυσης προβλημάτων, καθώς ως σύνολο παρουσιάζει έναν μοναδικό συνδυασμό πρωτοτυπίας και πληρότητας.
Ο Αρχιμήδης θεωρείται ο ιδρυτής της μαθηματικής ανάλυσης καθώς και της στατικής, που αποτελεί το πρώτο μέρος της κλασικής μηχανικής. Και όχι μόνο ανακάλυψε τις βασικές αρχές της στατικής και της υδροστατικής, αλλά κατόρθωσε να λύσει και δυσκολότατα προβλήματα, όπως εκείνο του προσδιορισμού των θέσεων ευσταθούς ισορροπίας στερεού, παραβολοειδούς εκ περιστροφής, που επιπλέει σ’ ένα υγρό.
Εδώ θα ήθελα να αναφερθώ περισσότερο σε μια λιγότερο γνωστή θεωρία εργασία του, τα Κατοπτρικά• η εργασία χάθηκε, όμως το μέρος που μας ενδιαφέρει διασώθηκε στο έργο του Ήρωνα του Αλεξανδρέα. Στο μέρος αυτό αναπτύσσονται οι νόμοι της γεωμετρικής οπτικής που αφορούν την ανάκλαση του φωτός. Ορίζεται δηλαδή ότι οι ακτίνες, οι τροχιές του φωτός, είναι ευθύγραμμες, ότι η εισερχόμενη ακτίνα στο σημείο ανάκλασης, πάνω σε μια αυθαίρετη καμπύλη κατοπτρική επιφάνεια, η κάθετος στην επιφάνεια στο σημείο αυτό, και η εξερχόμενη ακτίνα, ανήκουν και οι τρεις σε ένα και το αυτό επίπεδο, και τέλος ότι οι γωνίες οι οποίες σχηματίζουν οι ακτίνες αυτές με την κάθετο είναι ίσες.
Η ανακάλυψη αυτών των νόμων είναι βεβαίως ένα εξαιρετικό επίτευγμα• ο Αρχιμήδης όμως δεν περιορίστηκε σ’ αυτό, αλλά διατύπωσε την εξής αρχή ως ερμηνεία των νόμων: εάν θεωρήσουμε δυο σημεία εκτός της κατοπτρικής επιφάνειας, το ένα ως σημείο εκπομπής του φωτός και το άλλο ως σημείο λήψης, τότε η τροχιά την οποία ακολουθεί το φως είναι η ελάχιστη καμπύλη που ενώνει τα δυο σημεία και πληροί τη συνθήκη ότι τουλάχιστον ένα σημείο της ανήκει στην κατοπτρική επιφάνεια.
Η αρχή αυτή αποδείχθηκε εξαιρετικά γόνιμη στη μετέπειτα εξέλιξη της επιστήμης. Μετά τη διατύπωση από τον Νεύτωνα των νόμων της κίνησης της κλασικής μηχανικής, ο Lagrange διαπίστωσε ότι οι εν λόγω νόμοι προκύπτουν από μια ανάπτυξη της αρχής του Αρχιμήδη που ονομάστηκε «αρχή της ελάχιστης δράσης».
Περαιτέρω ανάπτυξη έδειξε ότι και οι νόμοι του Maxwell, που διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα, και γενικώς όλοι οι θεμελιώδεις νόμοι προκύπτουν από την αρχή της ελάχιστης δράσης, και σήμερα η αρχή αυτή αποτελεί θεμελιώδη ενωτική αρχή της θεωρητικής φυσικής.
Η κλασική μηχανική, όσον αφορά τη δυναμική, θεμελιώθηκε από τον Γαλιλαίο και τον Νεύτωνα. Ο Νεύτων επιπλέον προήγαγε το έργο του Αρχιμήδη στη μαθηματική ανάλυση με την ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού, και διατύπωσε την πρώτη θεωρία της βαρύτητας, το νόμο της παγκόσμιας έλξης. Και όχι μόνο διατύπωσε νέες θεωρίες, αλλά και έλυσε δυσκολότατα προβλήματα, όπως αυτό του προσδιορισμού της πλάτυνσης της γήινης σφαίρας που οφείλεται στην περιστροφή της, και το πρόβλημα του υπολογισμού της μεταπτωτικής κίνησης του άξονα της Γης, που οφείλεται στην επίδραση των παλιρροϊκών βαρυτικών δυνάμεων του Ήλιου και της Σελήνης. Και αφού έλυσε ο ίδιος το πρόβλημα της κίνησης δυο σωμάτων υπό την επίδραση της αμοιβαίας έλξης τους, έθεσε στις επερχόμενες γενεές το αντίστοιχο πρόβλημα των τριών ή περισσότερων σωμάτων, το οποίο μέχρι σήμερα παραμένει άλυτο. Πέραν όμως των επιμέρους, η σημαντικότερη συμβολή του Νεύτωνα στην πρόοδο της επιστήμης είναι η ανακάλυψη ότι οι νόμοι της φύσης έχουν τη μορφή τοπικών διαφορικών συνθηκών και επιτρέπουν τον προσδιορισμό της καθολικής εξέλιξης από τα αρχικά δεδομένα. Η ανακάλυψη αυτή καθιέρωσε τον εξέχοντα ρόλο των διαφορικών εξισώσεων.
Εδώ θα ήθελα να αναφερθώ σ’ ένα θεώρημα του Νεύτωνα και να επισημάνω τη σύνθεσή του με τα προηγούμενα και τα επόμενα, διότι μας δείχνει ότι η εμβάθυνση αποκαλύπτει την υπερβατική μαθηματική αλήθεια.
Ο Kepler, αφού αφιέρωσε όχι ευκαταφρόνητο χρόνο σκυμμένος πάνω στον απέραντο πλούτο των παρατηρήσεων που του κληροδότησε ο προκάτοχός του, Tycho Brahe, παρατηρήσεων που είχαν απαιτήσει επίπονες προσπάθειες μιας ολόκληρης ζωής, μόχθησε να βάλει τάξη στο χάος, και ανακάλυψε τέλος, με τη βοήθεια των Κωνικών του Απολλώνιου του Περγαίου, τον ακόλουθο νόμο που διέπει την κίνηση κάθε πλανήτη γύρω από τον Ήλιο: κατά την κίνηση του πλανήτη, ακτίνα που ενώνει τον πλανήτη με τον Ήλιο διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους.
Ο Νεύτων, ωστόσο, εμβαθύνοντας στη φύση των πραγμάτων, με την καθαρή σκέψη και μόνο, απέδειξε στο έργο Principia το εξής θεώρημα: εάν ένα σώμα βρίσκεται υπό την επίδραση δύναμης που προέρχεται από το ένα κέντρο, οποιαδήποτε κι αν είναι αυτή (η έλξη από τον Ήλιο, στην περίπτωση που ενδιέφερε τον Kepler), τότε η τροχιά του σώματος ανήκει σ’ ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της δύναμης, και η κίνηση στο επίπεδο αυτό είναι τέτοια ώστε η ακτίνα που ενώνει το σώμα με το κέντρο να διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους.
Αυτά συνοψίζονται στη διατήρηση ενός ανυσματικού μεγέθους που λέγεται «στροφορμή». Και τούτο δεν ήταν το τέλος της πορείας. Όπως ανέφερα προηγουμένως, οι νόμοι του Νεύτωνα πηγάζουν από την αρχή της ελάχιστης δράσης.
Αντιλαμβανόμαστε λοιπόν την υπερβατική υπόσταση των μαθηματικών, αφού η μαθηματική θεωρία που προέκυψε από τη μελέτη του χώρου υπερβαίνει αυτά τα πλαίσια και περιγράφει την ύλη.
Το έργο του Αρχιμήδη αποτελεί πρότυπο και για τα μαθηματικά και για τη φυσική, είτε αφορά τη διατύπωση νέων θεμελιωδών αρχών είτε την ανάπτυξη μεθόδων επίλυσης προβλημάτων, καθώς ως σύνολο παρουσιάζει έναν μοναδικό συνδυασμό πρωτοτυπίας και πληρότητας.
Ο Αρχιμήδης θεωρείται ο ιδρυτής της μαθηματικής ανάλυσης καθώς και της στατικής, που αποτελεί το πρώτο μέρος της κλασικής μηχανικής. Και όχι μόνο ανακάλυψε τις βασικές αρχές της στατικής και της υδροστατικής, αλλά κατόρθωσε να λύσει και δυσκολότατα προβλήματα, όπως εκείνο του προσδιορισμού των θέσεων ευσταθούς ισορροπίας στερεού, παραβολοειδούς εκ περιστροφής, που επιπλέει σ’ ένα υγρό.
Εδώ θα ήθελα να αναφερθώ περισσότερο σε μια λιγότερο γνωστή θεωρία εργασία του, τα Κατοπτρικά• η εργασία χάθηκε, όμως το μέρος που μας ενδιαφέρει διασώθηκε στο έργο του Ήρωνα του Αλεξανδρέα. Στο μέρος αυτό αναπτύσσονται οι νόμοι της γεωμετρικής οπτικής που αφορούν την ανάκλαση του φωτός. Ορίζεται δηλαδή ότι οι ακτίνες, οι τροχιές του φωτός, είναι ευθύγραμμες, ότι η εισερχόμενη ακτίνα στο σημείο ανάκλασης, πάνω σε μια αυθαίρετη καμπύλη κατοπτρική επιφάνεια, η κάθετος στην επιφάνεια στο σημείο αυτό, και η εξερχόμενη ακτίνα, ανήκουν και οι τρεις σε ένα και το αυτό επίπεδο, και τέλος ότι οι γωνίες οι οποίες σχηματίζουν οι ακτίνες αυτές με την κάθετο είναι ίσες.
Η ανακάλυψη αυτών των νόμων είναι βεβαίως ένα εξαιρετικό επίτευγμα• ο Αρχιμήδης όμως δεν περιορίστηκε σ’ αυτό, αλλά διατύπωσε την εξής αρχή ως ερμηνεία των νόμων: εάν θεωρήσουμε δυο σημεία εκτός της κατοπτρικής επιφάνειας, το ένα ως σημείο εκπομπής του φωτός και το άλλο ως σημείο λήψης, τότε η τροχιά την οποία ακολουθεί το φως είναι η ελάχιστη καμπύλη που ενώνει τα δυο σημεία και πληροί τη συνθήκη ότι τουλάχιστον ένα σημείο της ανήκει στην κατοπτρική επιφάνεια.
Η αρχή αυτή αποδείχθηκε εξαιρετικά γόνιμη στη μετέπειτα εξέλιξη της επιστήμης. Μετά τη διατύπωση από τον Νεύτωνα των νόμων της κίνησης της κλασικής μηχανικής, ο Lagrange διαπίστωσε ότι οι εν λόγω νόμοι προκύπτουν από μια ανάπτυξη της αρχής του Αρχιμήδη που ονομάστηκε «αρχή της ελάχιστης δράσης».
Περαιτέρω ανάπτυξη έδειξε ότι και οι νόμοι του Maxwell, που διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα, και γενικώς όλοι οι θεμελιώδεις νόμοι προκύπτουν από την αρχή της ελάχιστης δράσης, και σήμερα η αρχή αυτή αποτελεί θεμελιώδη ενωτική αρχή της θεωρητικής φυσικής.
Η κλασική μηχανική, όσον αφορά τη δυναμική, θεμελιώθηκε από τον Γαλιλαίο και τον Νεύτωνα. Ο Νεύτων επιπλέον προήγαγε το έργο του Αρχιμήδη στη μαθηματική ανάλυση με την ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού, και διατύπωσε την πρώτη θεωρία της βαρύτητας, το νόμο της παγκόσμιας έλξης. Και όχι μόνο διατύπωσε νέες θεωρίες, αλλά και έλυσε δυσκολότατα προβλήματα, όπως αυτό του προσδιορισμού της πλάτυνσης της γήινης σφαίρας που οφείλεται στην περιστροφή της, και το πρόβλημα του υπολογισμού της μεταπτωτικής κίνησης του άξονα της Γης, που οφείλεται στην επίδραση των παλιρροϊκών βαρυτικών δυνάμεων του Ήλιου και της Σελήνης. Και αφού έλυσε ο ίδιος το πρόβλημα της κίνησης δυο σωμάτων υπό την επίδραση της αμοιβαίας έλξης τους, έθεσε στις επερχόμενες γενεές το αντίστοιχο πρόβλημα των τριών ή περισσότερων σωμάτων, το οποίο μέχρι σήμερα παραμένει άλυτο. Πέραν όμως των επιμέρους, η σημαντικότερη συμβολή του Νεύτωνα στην πρόοδο της επιστήμης είναι η ανακάλυψη ότι οι νόμοι της φύσης έχουν τη μορφή τοπικών διαφορικών συνθηκών και επιτρέπουν τον προσδιορισμό της καθολικής εξέλιξης από τα αρχικά δεδομένα. Η ανακάλυψη αυτή καθιέρωσε τον εξέχοντα ρόλο των διαφορικών εξισώσεων.
Εδώ θα ήθελα να αναφερθώ σ’ ένα θεώρημα του Νεύτωνα και να επισημάνω τη σύνθεσή του με τα προηγούμενα και τα επόμενα, διότι μας δείχνει ότι η εμβάθυνση αποκαλύπτει την υπερβατική μαθηματική αλήθεια.
Ο Kepler, αφού αφιέρωσε όχι ευκαταφρόνητο χρόνο σκυμμένος πάνω στον απέραντο πλούτο των παρατηρήσεων που του κληροδότησε ο προκάτοχός του, Tycho Brahe, παρατηρήσεων που είχαν απαιτήσει επίπονες προσπάθειες μιας ολόκληρης ζωής, μόχθησε να βάλει τάξη στο χάος, και ανακάλυψε τέλος, με τη βοήθεια των Κωνικών του Απολλώνιου του Περγαίου, τον ακόλουθο νόμο που διέπει την κίνηση κάθε πλανήτη γύρω από τον Ήλιο: κατά την κίνηση του πλανήτη, ακτίνα που ενώνει τον πλανήτη με τον Ήλιο διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους.
Ο Νεύτων, ωστόσο, εμβαθύνοντας στη φύση των πραγμάτων, με την καθαρή σκέψη και μόνο, απέδειξε στο έργο Principia το εξής θεώρημα: εάν ένα σώμα βρίσκεται υπό την επίδραση δύναμης που προέρχεται από το ένα κέντρο, οποιαδήποτε κι αν είναι αυτή (η έλξη από τον Ήλιο, στην περίπτωση που ενδιέφερε τον Kepler), τότε η τροχιά του σώματος ανήκει σ’ ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της δύναμης, και η κίνηση στο επίπεδο αυτό είναι τέτοια ώστε η ακτίνα που ενώνει το σώμα με το κέντρο να διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους.
Αυτά συνοψίζονται στη διατήρηση ενός ανυσματικού μεγέθους που λέγεται «στροφορμή». Και τούτο δεν ήταν το τέλος της πορείας. Όπως ανέφερα προηγουμένως, οι νόμοι του Νεύτωνα πηγάζουν από την αρχή της ελάχιστης δράσης.
Στις αρχές του 20ου αιώνα διατυπώθηκε από τη Νoether το εξής θεώρημα: Στο πλαίσιο της γενικής αρχής της ελάχιστης δράσης, σε κάθε συνεχή ομάδα μετασχηματισμών που αφήνει τη δράση αναλλοίωτη αντιστοιχεί ένα μέγεθος που διατηρείται. Εάν αναφερθούμε στην ομάδα των στροφών του ευκλείδειου χώρου, το αντίστοιχο μέγεθος είναι η στροφορμή• εάν αναφερθούμε στην ομάδα των χρονικών μεταθέσεων, το αντίστοιχο μέγεθος είναι η ενέργεια.
Η κλασική μηχανική του Γαλιλαίου και του Νεύτωνα, μολονότι έδωσε τεράστια ώθηση στην επιστήμη, είχε την εξής ατέλεια: ενώ ο χώρος και ο χρόνος ξεχωριστά περιγράφονταν άρτια από την τρισδιάστατη και μονοδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία αντίστοιχα, εκλαμβάνονταν ωστόσο ως εντελώς ανεξάρτητες φυσικές έννοιες, και η σύνθεσή τους, ο χωροχρόνος, το σύνολο των συμβάντων, θεωρούνταν απλώς ως το γινόμενο του χώρου με τον χρόνο, με το κάθε συμβάν να αντιστοιχεί σε κάποιο ορισμένο σημείο του χώρου και σε κάποια ορισμένη χρονική στιγμή, όπως π.χ. μια δεδομένη θερμοδυναμική κατάσταση αντιστοιχεί σε μια ορισμένη θερμοκρασία και σε μια ορισμένη πίεση, δυο εντελώς ανεξάρτητες φυσικές έννοιες.
Το ότι όμως ο χώρος και ο χρόνος δεν μπορεί να είναι εντελώς ανεξάρτητες έννοιες φαίνεται από το γεγονός ότι, εάν θεωρήσουμε δυο παρατηρητές που κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο, τότε δυο γεγονότα που συντελούνται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές και συμβαίνουν στο ίδιο σημείο του χώρου ως προς τον άλλο. Εφόσον, όμως δυο παρατηρητές των οποίων η σχετική κίνηση είναι ομοιόμορφη συνιστούν φυσικώς ισοδύναμα συστήματα αναφοράς, όπως πρώτος παρατήρησε ο Γαλιλαίος, συνάγεται ότι ο χώρος δεν μπορεί να είναι απόλυτος και ο χωρόχρονος δεν μπορεί να είναι απλώς το γινόμενο του χώρου επί τον χρόνο.
Από την άλλη μεριά, ο χρόνος στο πλαίσιο της κλασικής μηχανικής φαίνεται πράγματι απόλυτος, αφού δυο παρατηρητές, ανεξάρτητα από τη σχετική τους κίνηση, συμφωνούν ως προς τα συμβάντα που θεωρούν ταυτόχρονα, μολονότι πρόκειται για συμβάντα που ενδέχεται να συντελούνται σε διαφορετικά σημεία του χώρου.
Ο χωρόχρονος της κλασικής μηχανικής, λοιπόν, είναι μια παράφωνη σύνθεση που απέχει πολύ από την τελειότητα της υπερβατικής μαθηματικής αλήθειας.
Οι δυσκολίες πολλαπλασιάστηκαν με τη μετάβαση από το χώρο της μηχανικής στο χώρο των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων. Ο Maxwell, συμπληρώνοντας με αμιγώς θεωρητική σκέψη τους νόμους που απέρρεαν από το πείραμα, κατόρθωσε να διατυπώσει ένα γραμμικό σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων που διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα και να δείξει ότι το φως δεν είναι παρά ηλεκτρομαγνητικό κύμα.
Η κλασική μηχανική του Γαλιλαίου και του Νεύτωνα, μολονότι έδωσε τεράστια ώθηση στην επιστήμη, είχε την εξής ατέλεια: ενώ ο χώρος και ο χρόνος ξεχωριστά περιγράφονταν άρτια από την τρισδιάστατη και μονοδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία αντίστοιχα, εκλαμβάνονταν ωστόσο ως εντελώς ανεξάρτητες φυσικές έννοιες, και η σύνθεσή τους, ο χωροχρόνος, το σύνολο των συμβάντων, θεωρούνταν απλώς ως το γινόμενο του χώρου με τον χρόνο, με το κάθε συμβάν να αντιστοιχεί σε κάποιο ορισμένο σημείο του χώρου και σε κάποια ορισμένη χρονική στιγμή, όπως π.χ. μια δεδομένη θερμοδυναμική κατάσταση αντιστοιχεί σε μια ορισμένη θερμοκρασία και σε μια ορισμένη πίεση, δυο εντελώς ανεξάρτητες φυσικές έννοιες.
Το ότι όμως ο χώρος και ο χρόνος δεν μπορεί να είναι εντελώς ανεξάρτητες έννοιες φαίνεται από το γεγονός ότι, εάν θεωρήσουμε δυο παρατηρητές που κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο, τότε δυο γεγονότα που συντελούνται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές και συμβαίνουν στο ίδιο σημείο του χώρου ως προς τον άλλο. Εφόσον, όμως δυο παρατηρητές των οποίων η σχετική κίνηση είναι ομοιόμορφη συνιστούν φυσικώς ισοδύναμα συστήματα αναφοράς, όπως πρώτος παρατήρησε ο Γαλιλαίος, συνάγεται ότι ο χώρος δεν μπορεί να είναι απόλυτος και ο χωρόχρονος δεν μπορεί να είναι απλώς το γινόμενο του χώρου επί τον χρόνο.
Από την άλλη μεριά, ο χρόνος στο πλαίσιο της κλασικής μηχανικής φαίνεται πράγματι απόλυτος, αφού δυο παρατηρητές, ανεξάρτητα από τη σχετική τους κίνηση, συμφωνούν ως προς τα συμβάντα που θεωρούν ταυτόχρονα, μολονότι πρόκειται για συμβάντα που ενδέχεται να συντελούνται σε διαφορετικά σημεία του χώρου.
Ο χωρόχρονος της κλασικής μηχανικής, λοιπόν, είναι μια παράφωνη σύνθεση που απέχει πολύ από την τελειότητα της υπερβατικής μαθηματικής αλήθειας.
Οι δυσκολίες πολλαπλασιάστηκαν με τη μετάβαση από το χώρο της μηχανικής στο χώρο των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων. Ο Maxwell, συμπληρώνοντας με αμιγώς θεωρητική σκέψη τους νόμους που απέρρεαν από το πείραμα, κατόρθωσε να διατυπώσει ένα γραμμικό σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων που διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα και να δείξει ότι το φως δεν είναι παρά ηλεκτρομαγνητικό κύμα.
εξισώσεις Maxwell
Οι εξισώσεις του Maxwell, όμως, περιέχουν μια σταθερά που αντιστοιχεί στην ταχύτητα διάδοσης του φωτός, και αυτό ακριβώς γέννησε πλήθος ερωτημάτων και δυσκολιών στη σκέψη της εποχής, με επίκεντρο το ερώτημα σε ποιο σύστημα αναφοράς η ταχύτητα του φωτός ισούται με τη δεδομένη σταθερά. Αναγκάστηκαν λοιπόν να υιοθετήσουν την υπόθεση ότι το φως διαδίδεται σε κάποιο μέσο, αν και ήταν σαφές ότι το φως διαδίδεται στο κενό, και η σταθερά των εξισώσεων Maxwell είναι η ταχύτητα ως προς το μέσο αυτό.
Το υποθετικό μέσο, που το ονόμασαν «αιθέρα», έπρεπε να είναι λεπτότατο, αφού δεν εμπίπτει καθόλου στην αντίληψή μας, και ταυτοχρόνως υπερβολικά σκληρό, ώστε να δικαιολογεί την τεράστια ταχύτητα διάδοσης. Η σκέψη όμως δεν έμεινε για πολύ σ’ αυτές τις απλοϊκές ιδέες, διότι οδηγούσαν σε συμπεράσματα τα οποία αντέκρουσε το πείραμα.
Έμεινε τότε λογικά μία μόνο διέξοδος: να δεχτούμε την ταχύτητα του φωτός ως παγκόσμια σταθερά, ανεξάρτητη από το σύστημα αναφοράς, ως ανυπέρβλητο όριο, στο ρόλο άπειρης ταχύτητας. Ήταν όμως εξαιρετικά δύσκολο για το μυαλό του ανθρώπου, που δεν ήταν εξοικειωμένο με την αφαίρεση, να ακολουθήσει αυτή την οδό, διότι οδηγούσε στην κατάρριψη του απόλυτου χρόνου. Δηλαδή, δυο συμβάντα που συντελούνται σε διαφορετικά σημεία του χώρου και είναι ταυτόχρονα για έναν παρατηρητή, δεν είναι πλέον ταυτόχρονα για έναν άλλο, που κινείται σε σχέση με τον πρώτο.
Μόνο η μεγαλοφυΐα του Poincaré κατόρθωσε να συλλάβει και να ακολουθήσει την οδό της αλήθειας. Το ταξίδι της σκέψης που ξεκίνησε ο Poincaré το συνέχισε ο Αινστάιν και το ολοκλήρωσε ο Minkowski με την ανακάλυψη της γεωμετρίας του χωρόχρονου ως τετράγωνο στοιχείου μήκους τόξου όπου το τετράγωνο του διαφορικού του χρόνου συμβάλλει αρνητικά. Η ευθεία γραμμή που ενώνει δυο σημεία του χωρόχρονου, και αντιστοιχεί στην ιστορική πορεία παρατηρητή σε ομοιόμορφη κίνηση μεταξύ δυο συμβάντων, είναι η μέγιστη καμπύλη με άκρα τα σημεία αυτά, δηλαδή η ιστορική πορεία του παρατηρητή με μη ομοιόμορφη κίνηση μεταξύ των ίδιων συμβάντων έχει μικρότερη διάρκεια.
Το υποθετικό μέσο, που το ονόμασαν «αιθέρα», έπρεπε να είναι λεπτότατο, αφού δεν εμπίπτει καθόλου στην αντίληψή μας, και ταυτοχρόνως υπερβολικά σκληρό, ώστε να δικαιολογεί την τεράστια ταχύτητα διάδοσης. Η σκέψη όμως δεν έμεινε για πολύ σ’ αυτές τις απλοϊκές ιδέες, διότι οδηγούσαν σε συμπεράσματα τα οποία αντέκρουσε το πείραμα.
Έμεινε τότε λογικά μία μόνο διέξοδος: να δεχτούμε την ταχύτητα του φωτός ως παγκόσμια σταθερά, ανεξάρτητη από το σύστημα αναφοράς, ως ανυπέρβλητο όριο, στο ρόλο άπειρης ταχύτητας. Ήταν όμως εξαιρετικά δύσκολο για το μυαλό του ανθρώπου, που δεν ήταν εξοικειωμένο με την αφαίρεση, να ακολουθήσει αυτή την οδό, διότι οδηγούσε στην κατάρριψη του απόλυτου χρόνου. Δηλαδή, δυο συμβάντα που συντελούνται σε διαφορετικά σημεία του χώρου και είναι ταυτόχρονα για έναν παρατηρητή, δεν είναι πλέον ταυτόχρονα για έναν άλλο, που κινείται σε σχέση με τον πρώτο.
Μόνο η μεγαλοφυΐα του Poincaré κατόρθωσε να συλλάβει και να ακολουθήσει την οδό της αλήθειας. Το ταξίδι της σκέψης που ξεκίνησε ο Poincaré το συνέχισε ο Αινστάιν και το ολοκλήρωσε ο Minkowski με την ανακάλυψη της γεωμετρίας του χωρόχρονου ως τετράγωνο στοιχείου μήκους τόξου όπου το τετράγωνο του διαφορικού του χρόνου συμβάλλει αρνητικά. Η ευθεία γραμμή που ενώνει δυο σημεία του χωρόχρονου, και αντιστοιχεί στην ιστορική πορεία παρατηρητή σε ομοιόμορφη κίνηση μεταξύ δυο συμβάντων, είναι η μέγιστη καμπύλη με άκρα τα σημεία αυτά, δηλαδή η ιστορική πορεία του παρατηρητή με μη ομοιόμορφη κίνηση μεταξύ των ίδιων συμβάντων έχει μικρότερη διάρκεια.
Η γεωμετρία που ανακάλυψε ο Minkowski έχει τελειότητα ισάξια της ευκλείδειας γεωμετρίας, και όσο παράδοξα κι αν φάνηκαν τα συμπεράσματά της στην κοινή αντίληψη, αποδείχθηκαν έκτοτε περίτρανα από το πείραμα.
Ο χώρος και ο χρόνος υποβιβάστηκαν σε συμβατικές μόνο έννοιες, όπως ακριβώς είναι το μήκος και το πλάτος σ’ ένα επίπεδο, και μόνο ο χωρόχρονος, το ίδιο το επίπεδο, έμεινε ως απόλυτη πραγματικότητα. Έτσι έφυγαν οι παρωπίδες από τα μάτια μας και μπορέσαμε να δούμε την αρμονική συμμετρία της φύσης.
Μισό αιώνα πριν από την ανακάλυψη της γεωμετρίας του χωρόχρονου, ο Riemann είχε επεκτείνει την ευκλείδεια γεωμετρία προς μια άλλη κατεύθυνση. O Gauss, δάσκαλος του Riemann, είχε προηγουμένως μελετήσει την εσωτερική γεωμετρία των καμπύλων επιφανειών στον ευκλείδειο χώρο. Η εσωτερική γεωμετρία περιέχει τις ιδιότητες εκείνες μιας επιφάνειας που μπορούν να οριστούν ανεξάρτητα από τον περιβάλλοντα χώρο, όπως η θεωρία των γεωδαισιακών, των ελάχιστων καμπυλών επί της επιφάνειας με δοθέντα άκρα.
Ο Riemann, θεωρώντας μια επιφάνεια με την εσωτερική της γεωμετρία ως αυθύπαρκτο δισδιάστατο καμπύλο χώρο, γενίκευσε την όλη θεωρία σε οποιοδήποτε πλήθος διαστάσεων, εισάγοντας την έννοια του πολυδιάστατου καμπύλου χώρου.
Ο χώρος και ο χρόνος υποβιβάστηκαν σε συμβατικές μόνο έννοιες, όπως ακριβώς είναι το μήκος και το πλάτος σ’ ένα επίπεδο, και μόνο ο χωρόχρονος, το ίδιο το επίπεδο, έμεινε ως απόλυτη πραγματικότητα. Έτσι έφυγαν οι παρωπίδες από τα μάτια μας και μπορέσαμε να δούμε την αρμονική συμμετρία της φύσης.
Μισό αιώνα πριν από την ανακάλυψη της γεωμετρίας του χωρόχρονου, ο Riemann είχε επεκτείνει την ευκλείδεια γεωμετρία προς μια άλλη κατεύθυνση. O Gauss, δάσκαλος του Riemann, είχε προηγουμένως μελετήσει την εσωτερική γεωμετρία των καμπύλων επιφανειών στον ευκλείδειο χώρο. Η εσωτερική γεωμετρία περιέχει τις ιδιότητες εκείνες μιας επιφάνειας που μπορούν να οριστούν ανεξάρτητα από τον περιβάλλοντα χώρο, όπως η θεωρία των γεωδαισιακών, των ελάχιστων καμπυλών επί της επιφάνειας με δοθέντα άκρα.
Ο Riemann, θεωρώντας μια επιφάνεια με την εσωτερική της γεωμετρία ως αυθύπαρκτο δισδιάστατο καμπύλο χώρο, γενίκευσε την όλη θεωρία σε οποιοδήποτε πλήθος διαστάσεων, εισάγοντας την έννοια του πολυδιάστατου καμπύλου χώρου.
Η ευκλείδεια γεωμετρία περιέχεται ως ειδική περίπτωση στη γεωμετρία του Riemann, ως η περίπτωση κατά την οποία η καμπυλότητα είναι παντού μηδέν. Η καμπυλότητα ενός χώρου Riemann εκδηλώνεται στη σχέση γειτονικών γεωδαισιακών, που διαφέρει από εκείνη μεταξύ γειτονικών ευθειών στον ευκλείδειο χώρο.
Ο Αϊνστάιν, μετά τη συμβολή του Minkowski, συγκέντρωσε τις προσπάθειές του στο να επινοήσει θεωρία για τη βαρύτητα, πέραν της νευτώνειας, η οποία να είναι συμβατή με την ενότητα του χωροχρόνου, που μόλις είχε αποκαλυφθεί. Η σκέψη του επέμεινε στο ότι δεν μπορεί να είναι τυχαίο ότι η μάζα ορίζει ταυτόχρονα και την αδράνεια ενός σώματος και την έλξη του προς τα άλλα. Το γεγονός αυτό, στο πλαίσιο της νευτώνειας θεωρίας, έχει ως επακόλουθο όλες οι δοκιμαστικές μάζες να έχουν την ίδια επιτάχυνση σ’ ένα πεδίο βαρύτητας, όπως πρώτος είχε διαπιστώσει ο Γαλιλαίος.
Ο Αϊνστάιν αντιλήφθηκε τότε ότι, ως προς ένα σύστημα αναφοράς σε ελεύθερη πτώση σ’ ένα πεδίο βαρύτητας, αυτό σημαίνει ότι η ίδια η δύναμη της βαρύτητα απαλείφεται, και το μόνο που παραμένει είναι το διαφορικό της, η παλιρροϊκή δύναμη που προξενεί απόκλιση των γειτονικών δοκιμαστικών μαζών. Τούτο του θύμισε την απόκλιση των γειτονικών γεωδαισιακών στη γεωμετρία του Riemann, κάτι που αποτελεί εκδήλωση της καμπυλότητας. Έτσι ο Αϊνστάιν, γενικεύοντας τη γεωμετρία του χωρόχρονου του Minkowski, κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο με τον οποίο ο Riemann γενίκευσε την ευκλείδεια γεωμετρία του χώρου οδηγήθηκε στην έννοια του καμπύλου χωρόχρονου και στην ανακάλυψη ότι η βαρύτητα δεν είναι παρά η καμπυλότητα του χωρόχρονου με την πυκνότητα ενέργειας της ύλης, νόμο που έχει τη μορφή μη γραμμικού συστήματος μερικών διαφορικών εξισώσεων, των εξισώσεων Αϊνστάιν, και ενσωματώνει και το νόμο της βαρύτητας και τους νόμους κίνησης της ύλης.
Η θεωρία αυτή, η γενική θεωρία της σχετικότητας, είναι ίσως η πιο μεγαλειώδης μαθηματική συμφωνία της φύσης που ο άνθρωπος αξιώθηκε μέχρι σήμερα να συλλάβει, αφού περιέχει ολόκληρη σειρά από ουράνιες αρμονίες που του είχαν προηγουμένως αποκαλυφθεί.
Ο Αϊνστάιν, μετά τη συμβολή του Minkowski, συγκέντρωσε τις προσπάθειές του στο να επινοήσει θεωρία για τη βαρύτητα, πέραν της νευτώνειας, η οποία να είναι συμβατή με την ενότητα του χωροχρόνου, που μόλις είχε αποκαλυφθεί. Η σκέψη του επέμεινε στο ότι δεν μπορεί να είναι τυχαίο ότι η μάζα ορίζει ταυτόχρονα και την αδράνεια ενός σώματος και την έλξη του προς τα άλλα. Το γεγονός αυτό, στο πλαίσιο της νευτώνειας θεωρίας, έχει ως επακόλουθο όλες οι δοκιμαστικές μάζες να έχουν την ίδια επιτάχυνση σ’ ένα πεδίο βαρύτητας, όπως πρώτος είχε διαπιστώσει ο Γαλιλαίος.
Ο Αϊνστάιν αντιλήφθηκε τότε ότι, ως προς ένα σύστημα αναφοράς σε ελεύθερη πτώση σ’ ένα πεδίο βαρύτητας, αυτό σημαίνει ότι η ίδια η δύναμη της βαρύτητα απαλείφεται, και το μόνο που παραμένει είναι το διαφορικό της, η παλιρροϊκή δύναμη που προξενεί απόκλιση των γειτονικών δοκιμαστικών μαζών. Τούτο του θύμισε την απόκλιση των γειτονικών γεωδαισιακών στη γεωμετρία του Riemann, κάτι που αποτελεί εκδήλωση της καμπυλότητας. Έτσι ο Αϊνστάιν, γενικεύοντας τη γεωμετρία του χωρόχρονου του Minkowski, κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο με τον οποίο ο Riemann γενίκευσε την ευκλείδεια γεωμετρία του χώρου οδηγήθηκε στην έννοια του καμπύλου χωρόχρονου και στην ανακάλυψη ότι η βαρύτητα δεν είναι παρά η καμπυλότητα του χωρόχρονου με την πυκνότητα ενέργειας της ύλης, νόμο που έχει τη μορφή μη γραμμικού συστήματος μερικών διαφορικών εξισώσεων, των εξισώσεων Αϊνστάιν, και ενσωματώνει και το νόμο της βαρύτητας και τους νόμους κίνησης της ύλης.
Η θεωρία αυτή, η γενική θεωρία της σχετικότητας, είναι ίσως η πιο μεγαλειώδης μαθηματική συμφωνία της φύσης που ο άνθρωπος αξιώθηκε μέχρι σήμερα να συλλάβει, αφού περιέχει ολόκληρη σειρά από ουράνιες αρμονίες που του είχαν προηγουμένως αποκαλυφθεί.
ΠΗΓΗ: περιοδικό Quantum Σεπτέμβριος/Οκτώβριος 1996, Τόμος 3 / Τεύχος 5
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου