Η γέννηση της θερμοδυναμικής των μαύρων τρυπών

Στον Δημήτρη Χριστοδούλου τέθηκε το 1995 από τον Γιώργο Ευαγγελόπουλο (σε συνέντευξη για το περιοδικό Quantum: ΕΔΩ) το εξής ερώτημα:
Eρ.: Στην κοινότητα των θεωρητικών φυσικών είχε μεγάλη απήχηση η εργασία που δημοσιεύσατε το 1970, με τίτλο «Αντιστρεπτοί και μη αντιστρεπτοί μετασχηματισμοί στη φυσική των μελανών οπών», διότι άνοιξε κατευθύνσεις σκέψης που καρποφόρησαν με το θεώρημα του εμβαδού του Hawking για τις μελανές οπές.
Συγκεκριμένα, η μελέτη σας αποτέλεσε πρόδρομο της εργασίας του Jacob Bekenstein «Black Holes and the Second Law”, όπου πρωτοδημοσιεύθηκε η υπόθεση ότι το εμβαδόν του ορίζοντα των γεγονότων μιας μελανής οπής είναι το μέτρο της εντροπίας της.
Ο Kip Thorne, στο βιβλίο του «Black Holes and Times Warps (μελανές οπές και στρεβλώσεις του χρόνου)», αναφέρει ότι στην εν λόγω εργασία σας παρατηρήσατε πως οι εξισώσεις που περιγράφουν αργές μεταβολές στις ιδιότητες των μελανών οπών μοιάζουν με τις εξισώσεις της θερμοδυναμικής, πλην όμως, παρότι η ομοιότητα είναι αξιοσημείωτη, δεν υπήρχε τότε κανένας λόγος ώστε να σκεφτείτε ότι πρόκειται για κάτι περισσότερο από σύμπτωση. Πως οδηγηθήκατε σε τόσο σημαντικά συμπεράσματα στην πρώτη κιόλας επιστημονική σας εργασία και πως την αξιολογείτε τόσα χρόνια μετά;

Ο Δημήτρης Χριστοδούλου είναι σήμερα καθηγητής του Πολυτεχνείου ΕΤΗ Ζυρίχης. Το 2011 τιμήθηκε με το διεθνές βραβείο «Shaw» μαζί με τον Αμερικανό καθηγητή του Πανεπιστημίου Κολούμπια της Νέας Υόρκης Ρίτσαρντ Χάμιλτον. Το βραβείο συνοδεύεται από χρηματικό ποσόν του 1 εκατομμυρίου δολαρίων.

Απάντηση: Είναι δύσκολο να απαντήσω, διότι το παρελθόν το βλέπει κανείς μέσα από το φίλτρο του παρόντος και των τωρινών του γνώσεων. Πρέπει όμως να τονίσω ότι πιστεύω στην «ενότητα» που πρέπει να έχει η φυσική. Το γεγονός ότι στη φυσική των μελανών οπών εμφανίζονται και πάλι έννοιες της θερμοδυναμικής, αποδεικνύει πως η εν λόγω «ενότητα» υπάρχει.
Άλλωστε, η ίδια η έννοια της μελανής οπής ενέχει το στοιχείο της μη αντιστρεπτότητας – γίνεται λόγος για μελανή και όχι, λόγου χάρη για, για λευκή οπή.
Υπάρχει λοιπόν η μη αντιστρεπτότητα στην έννοια της μελανής οπής, όπως υπάρχει και στην έννοια της εντροπίας.
Το εντυπωσιακό όμως είναι ότι εμφανίζονται θερμοδυναμικές έννοιες και σ’ αυτό τον τομέα της φυσικής, ο οποίος εκ πρώτης όψεως, φαίνεται άσχετος με το αρχικό πεδίο εφαρμογής της θερμοδυναμικής, που ήταν η φυσική των ρευστών.
Τα όσα είπατε για τη σχέση της δικής μου εργασίας με την εργασία του Bekenstein είναι πολύ σωστά.
Είχα φτάσει στα πρόθυρα, ας πούμε, της αναγνώρισης της «σχέσης» που βρήκε ο Bekenstein.
Μάλιστα, χρησιμοποιώντας τους όρους των «αντιστρεπτών» και «μη αντιστρεπτών» μετασχηματισμών στη φυσική των μελανών οπών, ήθελα να επιστήσω τη προσοχή του κοινού στην υπάρχουσα αναλογία με έννοιες θερμοδυναμικής.
Φυσικά, η σκέψη ότι το εμβαδόν του ορίζοντα της μελανής οπής είναι μέτρο της εντροπίας της ανήκει οπωσδήποτε στον Bekenstein.

Όπως γνωρίζετε, ο Hawking αρνήθηκε αρχικά να δεχτεί την ορθότητα της εργασίας του Bekenstein, στη συνέχεια όμως πείστηκε γι αυτήν.
Ο αρχικός δισταγμός του οφειλόταν στο ότι σκέφτηκε πως αν οι μελανές οπές είχαν εντροπία, θα είχαν και θερμοκρασία και επομένως θα έπρεπε να εκπέμπουν ακτινοβολία.
Αλλά από τον ίδιο τον ορισμό υποτίθεται ότι οι μελανές οπές δεν εκπέμπουν τίποτε.
Τελικά, ο ίδιος ο Hawking απέδειξε ότι η μελανή οπή όντως ακτινοβολεί, και ότι η ακτινοβολία αυτή έχει το φάσμα του θερμού μελανού σώματος.
Επομένως, όσον αφορά τη φυσική των μελανών οπών, για να είμαστε ιστορικά ακριβείς, οφείλουμε να ομιλούμε για «θερμοκρασία Bekenstein» και για «ακτινοβολία Hawking»
Είδαμε πως ένας εκ των πρωταγωνιστών – ο Δημήτρης Χριστοδούλου – περιέγραψε το ιστορικό της σύνδεσης των νόμων της θερμοδυναμικής με τους νόμους των μαύρων τρυπών.

Η ιστορία αυτή περιγράφεται αναλυτικά στα βιβλία, «Μαύρες τρύπες και στρεβλώσεις του χρόνου» του  Kip Thorne και «το χρονικό του χρόνου» του Stephen W. Hawking.Μερικά αποσπάσματα από αυτά παρατίθενται στη συνέχεια, έτσι ώστε να πάρουμε μια μικρή γεύση από ένα τεράστιο επίτευγμα του ανθρώπινου πνεύματος:

Ανάμεσα στις ήττες που έχει υποστεί ο Stephen Hawking,  η πιο θεαματική ήταν ίσως εκείνη από τον Jacob Βekenstein,
μεταπτυχιακό φοιτητή του John Wheeler.
Ωστόσο, όμως θα διαπιστώσουμε, ότι ο Hawking πέτυχε μέσα από την ήττα του έναν ακόμη μεγαλύτερο θρίαμβο: την ανακάλυψη ότι οι μαύρες τρύπες μπορούν να εξαερώνονται.
Ο Ηawking ηττήθηκε στο «στίβο» της θερμοδυναμικής των μαύρων τρυπών. Οι νόμοι της θερμοδυναμικής διέπουν την τυχαία, στατιστική συμπεριφορά μεγάλου πλήθους ατόμων – για παράδειγμα εκείνων από τα οποία αποτελείται ο Ήλιος. Η στατιστική συμπεριφορά μεγάλου πλήθους ατόμων περιλαμβάνει, μεταξύ άλλων, τις τυχαίες άτακτες κινήσεις που οφείλονται στη θερμότητα˙ και αντίστοιχα, οι νόμοι της θερμοδυναμικής περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, τους νόμους που διέπουν τη θερμότητα – εξ ου και το όνομα θερμοδυναμική.
Ένα χρόνο προτού ο Hawking ανακαλύψει το θεώρημα αύξησης του εμβαδού, οΔημήτρης Χριστοδούλου,  ένας δεκαεννιάχρονος μεταπτυχιακός φοιτητής στην ομάδα του Wheeler, στο Πρίνστον, παρατήρησε ότι οι εξισώσεις που περιγράφουν τις αργές μεταβολές των ιδιοτήτων των μαύρων τρυπών (όταν, για παράδειγμα, προστίθεται αργά σε αυτές αέριο) μοιάζουν με ορισμένες από τις εξισώσεις της θερμοδυναμικής
Phys. Rev. Lett. 25, 1596–1597 (1970), “Reversible and Irreversible Transformations in Black-Hole Physics“
Η ομοιότητα ήταν αξιοσημείωτη, αλλά δεν υπήρχε λόγος για να θεωρηθεί κάτι περισσότερο από απλή σύμπτωση. 

Η ομοιότητα αυτή ενισχύθηκε από το θεώρημα του Hawking περί αύξησης του εμβαδού, το οποίο έμοιαζε πολύ με τον Δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής. Πράγματι, το εν λόγω θεώρημα … αποκτά ίδια μορφή με τον Δεύτερο νόμο αρκεί να αντικαταστήσουμε τη φράση «εμβαδόν του ορίζοντα» με τη λέξη «εντροπία»:

Έστω ότι οποιαδήποτε χρονική (ανεξαρτήτως του συστήματος αναφοράς) μετράτε τη συνολική εντροπία σε κάποια περιοχή του χώρου. Περιμένετε όσο χρόνο θέλετε, και μετράτε ξανά τη συνολική εντροπία. Αν στο χρονικό διάστημα μεταξύ των μετρήσεων τίποτε δεν έχει εξέλθει από τα όρια της περιοχής του χώρου που επιλέξατε, τότε ουδέποτε θα διαπιστώσετε ελάττωση της συνολικής εντροπίας˙ σχεδόν πάντοτε θα διαπιστώνετε ότι η εντροπία θα έχει αυξηθεί έστω και λίγο.
Τον Νοέμβριο του 1970, ο Stephen Hawking πρόσεξε την αξιοσημείωτη ομοιότητα ανάμεσα στο Δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής και το νόμο της αύξησης του εμβαδού˙ θεώρησε, όμως, προφανές ότι επρόκειτο για απλή σύμπτωση. Θα έπρεπε να είναι κάποιος τρελός, ή τουλάχιστον ελαφρόμυαλος, για να υποστηρίξει ότι το εμβαδόν του ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας αποτελεί, υπό κάποια έννοια, την εντροπία της, πίστευε ο Hawking. Εξάλλου, δεν υπάρχει τίποτε τυχαίο σε μια μαύρη τρύπα. Η μαύρη τρύπα είναι το ακριβώς αντίθετο του τυχαίου – είναι η απλότητα ενσαρκωμένη. Αφότου μάλιστα καταλήξει σε κατάσταση ηρεμίας, εξαλείφει όλα τα ίχνη της: Όλες οι ιδιότητές της καθορίζονται επακριβώς μόνο από τρεις αριθμούς – τη μάζα, τη στροφορμή και το ηλεκτρικό φορτίο της. Η μαύρη τρύπα δεν παρουσιάζει καθόλου τυχαιότητα.
Ο Jacob Bekenstein όμως δεν είχε πειστεί. Θεωρούσε πιθανό ότι το εμβαδό μιας μαύρης τρύπας είναι, υπό κάποια βαθύτερη έννοια, η εντροπία της – για να ακριβολογούμε η εντροπία της πολλαπλασιασμένη επί κάποια σταθερά. Αν δεν ίσχυε κάτι τέτοιο, σκεφτόταν ο Bekenstein, αν δηλαδή οι μαύρες τρύπες είχαν μηδενική εντροπία (καθόλου τυχαιότητα), όπως υποστήριζε ο Hawking, τότε θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να ελαττωθεί η εντροπία του σύμπαντος – και επομένως θα παραβιαζόταν ο Δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής. Το μόνο που χρειαζόταν ήταν να στριμώξει κανείς, ας πούμε, όλα τα μόρια του αέρα ενός δωματίου σε ένα μικρό αεροστεγές πακέτο και να το ρίξει μέσα σε μια μαύρη τρύπα. Έτσι, μόλις το πακέτο εισερχόταν στην τρύπα, αυτά τα μόρια καθώς και η εντροπία που διέθεταν θα εξαφανίζονταν από το σύμπαν μας. Αν λοιπόν η εντροπία της μαύρης τρύπας δεν αυξανόταν ως αντιστάθμισμα αυτής της απώλειας, τότε η συνολική εντροπία του σύμπαντος θα ελαττωνόταν! Μια τέτοια παραβίαση του Δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής δεν φαίνεται καθόλου πειστική, υποστήριξε ο Bekenstein. Για να προστατεύεται ο Δεύτερος νόμος, η μαύρη τρύπα πρέπει να διαθέτει εντροπία, η οποία να αυξάνεται όταν ένα τέτοιο πακέτο διασχίζει τον ορίζοντά της˙ κατά τον Bekenstein, δεν υπήρχε καλύτερος για να αντιπροσωπεύει αυτή την εντροπία απ’ ότι το εμβαδόν της επιφάνειας της μαύρης τρύπας.
Ο Hawking διαφωνούσε. Θεωρούσε όντως δυνατόν να χάνονται τα μόρια του αέρα όταν τα ρίχνουμε μέσα στην τρύπα, και παράλληλα να χάνεται και η εντροπία τους. Απλώς τέτοια είναι η φύση των μαύρων τρυπών.
Όλοι οι ανά τον κόσμο ειδικοί στις μαύρες τρύπες τάχθηκαν υπέρ της άποψης του Hawking – για την ακρίβεια, όλοι εκτός από το μέντορα του Bekenstein, τον John Wheeler. «Η ιδέα σου ακούγεται τόσο τρελή, ώστε ίσως να είναι σωστή» είπε ο Wheeler στον Bekenstein.
Και ο Bekenstein προχώρησε και θεμελίωσε περισσότερο την εικασία του. Υπολόγισε ακριβώς πόσο θα πρέπει να αυξηθεί η εντροπία μιας μαύρης τρύπας όταν ρίξουμε μέσα της ένα πακέτο αέρα, προκειμένου να μην παραβιάζεται ο Δεύτερος νόμος τηε θερμοδυναμικής, και υπολόγισε πόσο πρέπει να αυξηθεί το εμβαδόν του ορίζοντα της τρύπας εξαιτίας του εν λόγω πακέτου.
Ο Stephen Hawking όμως επέμενε:
«Αν η μαύρη τρύπα έχει εντροπία, τότε πρέπει να έχει και θερμοκρασία. Αλλά ένα σώμα με συγκεκριμένη θερμοκρασία πρέπει να εκπέμπει ακτινοβολία με συγκεκριμένο ρυθμό! (…)
Αν λοιπόν οι μαύρες τρύπες έχουν εντροπία θα έχουν και θερμοκρασία˙ και αφού έχουν θερμοκρασία θα πρέπει να εκπέμπουν ακτινοβολία. Αλλά από τον ίδιο τους τον ορισμό οι μαύρες τρύπες δεν θα μπορούσε να είναι το μέτρο της εντροπίας»
Το 1972 ο Ηawking μαζί με τους Brandon Carter και Jim Bardeen δημοσίευσαν μια εργασία,  όπου έδειχναν ότι υπάρχουν μεγάλες ομοιότητες μεταξύ της μηχανικής των μαύρων τρυπών και των νόμων της θερμοδυναμικής. Αρκεί στη θέση του εμβαδού του ορίζοντα γεγονότων της μαύρης τρύπας να μπει η εντροπία. Ο Hawking παραδέχτηκε ότι το κίνητρο αυτής της εργασίας ήταν η οργή του κατά του Bekenstein! Aισθανόταν ότι ο Bekenstein καταχράστηκε την δική του ανακάλυψη ότι το εμβαδόν του ορίζοντα των γεγονότων δεν μικραίνει ποτέ. Αν και αναγνώρισε στο τέλος ότι ο Bekenstein είχε δίκιο … αλλά με έναν τρόπο που ούτε ο ίδιος δεν περίμενε.
H πρώτη νύξη ότι οι μαύρες τρύπες μπορούν πράγματι να ακτινοβολούν έγινε από τον σοβιετικό φυσικό Yakov Borisovish Zel’dovich τον Ιούνιο του 1971 αλλά κανείς όμως δεν έδωσε προσοχή.
To άρθρο με τίτλο «Particle production and vacuum polarization in an anisotropic gravitational field» θα είχε απορριφθεί αν το είχε γράψει κάποιος άλλος. Το όνομα Zel’dovich όμως υπερίσχυσε.
Ο Zel’dovich ισχυρίστηκε ότι «μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα πρέπει να ακτινοβολεί. Η ακτινοβολία θα ωθεί αντίθετα την μαύρη τρύπα και θα μειώνει σιγά-σιγά τη στροφορμή της, έως ότου αυτή σταματήσει να περιστρέφεται. Τότε, θα πάψει να εκπέμπει και ακτινοβολία και θα έχει για πάντα απολύτως σφαιρικό σχήμα και δεν θα περιστρέφεται. Το συμπέρασμα αυτό μετά από 3 χρόνια επιβεβαιώθηκε και από άλλους φυσικούς.
Βρισκόμαστε στο 1974 και οι ειδικοί περί των μαύρων τρυπών συμφωνούν στο ότι: μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα πρέπει να εκπέμπει ακτινοβολία έως ότου εξαντληθεί η περιστροφική κινητική της ενέργεια, οπότε και θα σταματήσει η εκπομπή ακτινοβολίας.
Και τότε σκάει η «βόμβα» του Hawking.

Black hole explosions? (1974)
… και στη συνέχεια ….
Particle creation by black holes, (1975)
Black holes and thermodynamics (1976)

Oι υπολογισμοί του Hawking επιβεβαίωναν ότι κάθε περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα πρέπει να ακτινοβολεί και ότι η στροφορμή της μειώνεται.
Οι υπολογισμοί του όμως προέβλεπαν επιπλέον πως όταν η μαύρη τρύπα πάψει να περιστρέφεται, η εκπομπή ακτινοβολίας δεν σταματά. Παρότι η τρύπα δεν διαθέτει περιστροφική ενέργεια, συνεχίζει να εκπέμπει ακτινοβολία όλων των ειδών (βαρυτική, ηλεκτρομαγνητική, νετρίνα)˙ και καθώς συμβαίνει αυτό, εξακολουθεί να χάνει ενέργεια. Ενώ μάλιστα η περιστροφική της ενέργεια παρέμενε αποθηκευμένη στον στροβιλιζόμενο χώρο έξω από τον ορίζοντα, η ενέργεια που χάνει τώρα δεν μπορεί να προέρχεται από πουθενά αλλού παρά μόνο από το εσωτερικό της.!
Εξίσου εκπληκτικό ήταν το γεγονός ότι οι υπολογισμοί του Hawking προέβλεπαν πως το φάσμα της ακτινοβολίας (δηλαδή η ποσότητα της ενέργειας που ακτινοβολείται σε κάθε μήκος κύματος) μοιάζει επακριβώς με το φάσμα της θερμικής ακτινοβολίας ενός θερμού σώματος. Με άλλα λόγια, μια μαύρη τρύπα συμπεριφέρεται ακριβώς σαν ο ορίζοντάς της να έχει πεπερασμένη θερμοκρασία, η οποία, όπως συμπέρανε ο Hawking, είναι ανάλογη με την επιφανειακή βαρύτητα της τρύπας. Τελικά οι νόμοι της μηχανικής των μαύρων τρυπών είναι μεταμφιεσμένοι οι νόμοι της θερμοδυναμικής και όπως είχε ισχυριστεί ο Bekenstein – μια μαύρη τρύπα έχει εντροπία ανάλογη με το εμβαδόν της επιφάνειάς της.

S = A/4

Από τους υπολογισμούς του Hawking προέκυπταν και άλλα συμπεράσματα. Από τη στιγμή που η τρύπα παύει να περιστρέφεται, η εντροπία της και το εμβαδό του ορίζοντά της είναι ανάλογα του τετραγώνου της μάζας της. Επομένως κάθε μαύρη τρύπα συνεχίζει να εκπέμπει ακτινοβολία μετατρέποντας μάζα σε ενέργεια, η μάζα της όπως και η εντροπία και το εμβαδόν της ελαττώνονται, ενώ η θερμοκρασία και η επιφανειακή βαρύτητά της αυξάνονται. Η μαύρη τρύπα συρρικνώνεται και γίνεται θερμότερη, δηλαδή στην ουσία εξαερώνεται!

H θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας είναι αντιστρόφως ανάλογη με την μάζα της. Η εξίσωση αυτή είναι από τις ομορφότερες εξισώσεις της φυσικής. Περιέχει τις πιο σημαντικές παγκόσμιες σταθερές : την ταχύτητα του φωτός, τη σταθερά της παγκόσμιας έλξης, τη σταθερά Planck και τη σταθερά Boltzmann

Η ακτινοβολία που εκπέμπει μια μαύρη τρύπα ονομάστηκε ακτινοβολία Hawking.
Πως όμως είναι δυνατόν να φαίνεται ότι μια μαύρη τρύπα εκπέμπει σωματίδια– ή καλύτερα σωματίδια, όταν γνωρίζουμε πως τίποτε δεν μπορεί διαφύγει από τα όρια του ορίζοντα των γεγονότων της. Την απάντηση δίνει η κβαντική θεωρία. Τα σωματίδια δεν προέρχονται από το εσωτερικό της μαύρης τρύπας, αλλά από τον «κενό» χώρο, έξω ακριβώς από τον ορίζοντα των γεγονότων της!
Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας, εμφανίζονται ζεύγη από «δυνάμει» σωματίδια ύλης 

Στην περίπτωση όμως αυτή το ένα μέλος του ζεύγους θα είναι σωματίδιο και το άλλο αντισωματίδιο. Επειδή η ενέργεια δεν μπορεί να παραχθεί από το μηδέν, το ένα μέλος του ζεύγους σωματιδίου-αντισωματιδίου θα έχει θετική ενέργεια και το άλλο αρνητική. Αυτό με την αρνητική ενέργεια είναι καταδικασμένο να παραμείνει ένα «δυνάμει» σωματίδιο ή αντισωματίδιο, επειδή σε κανονικές καταστάσεις δηλαδή έξω από τις μαύρες τρύπες, τα «πραγματικά» σωματίδια ή αντισωματίδια έχουν θετική ενέργεια. Πρέπει λοιπόν στο σύντομο χρονικό διάστημα της ζωής του να επιζητεί μια συνάντηση με το άλλο μέρος του ζεύγους, αυτό με τη θετική ενέργεια, και να εξαϋλωθεί μαζί του. Αν όμως κοντά στην περιοχή όπου εμφανίζεται το ζεύγος υπάρχει μια μαύρη τρύπα, παρουσιάζεται και μια άλλη δυνατότητα. Ένα «πραγματικό» σωματίδιο ή αντισωματίδιο που έχει θετική ενέργεια όταν βρίσκεται κοντά σε ένα σώμα με μεγάλη μάζα, η ενέργειά του είναι μικρότερη απ’ όση όταν βρισκόταν μακρύτερα. Όσο πιο κοντά βρίσκεται στο σώμα τόσο μικρότερη είναι η ενέργειά του. Σε κανονικές καταστάσεις αυτή η ενέργεια παραμένει πάντα θετική. Στο εσωτερικό, όμως μιας μαύρης τρύπας το βαρυτικό πεδίο είναι τόσο ισχυρό ώστε εκεί το σωματίδιο ή το αντισωματίδιο μπορεί να έχει αρντητική ενέργεια.
Αφού λοιπόν ένα «πραγματικό» σωματίδιο ή αντισωματίδιο μπορεί, στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας, να έχει αρνητική ενέργεια, παρουσιάζεται η δυνατότητα στο «δυνάμει» σωματίδιο ή αντισωματίδιο με την αρνητική ενέργεια να πέσει μέσα στη μαύρη τρύπα και να γίνει «πραγματικό» σωαμτίδιο ή αντισωματίδιο. Στην περίπτωση αυτή δεν χρειάζεται πια να εξαϋλωθεί μαζί με το άλλο μέλος του ζεύγους. Το εγκαταλελειμμένο μέλος του ζεύγους, αυτό με τη θετική ενέργεια, μπορεί ή να πέσει και αυτό μέσα στη μαύρη τρύπα ή να διαφύγει από την περιοχή της.
Για κάποιον που παρατηρεί τα γεγονότα από μακριά, θα φαίνεται ότι το σωματίδιο αυτό το εξέπεμψε η μαύρη τρύπα. Όσο μικρότερη είναι η μαύρη τρύπα τόσο μικρότερη είναι η απόσταση που θα πρέπει να διανύσει το «δυνάμει» σωματίδιο ή αντισωματίδιο πριν γίνει πραγματικό, και τόσο μεγαλύτερη είναι η θερμοκρασία της μαύρης τρύπας και ο ρυθμός εκπομπής της ακτινοβολίας.
Η θετική ενέργεια της ακτινοβολίας που θα εκπέμπεται από τη μαύρη τρύπα θα εξισορροπείται από τη ροή των σωματιδίων ή αντισωματιδίων αρνητικής ενέργειας που θα πέφτουν μέσα της. Επομένως, η ροή αρνητικής ενέργειας μέσα στη μαύρη τρύπα έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της μάζας της. Καθώς μειώνεται η μάζα της μαύρης τρύπας μειώνεται και το εμβαδόν του ορίζοντα των γεγονότων της (που τελικά είναι το μέτρο της εντροπίας της). Η μείωση όμως της εντροπίας της μαύρης τρύπας εξισορροπείται από την εντροπία της ακτινοβολίας που εκπέμπεται. Έτσι, ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής δεν παραβιάζεται ποτέ.
Βιβλιογραφία
1. Kip S. Thorne, «Μαύρες τρύπες και στρεβλώσεις του χρόνου»
2. Stephen W. Hawking, «το χρονικό του χρόνου»